Resolva o sistema abaixo utilizando o método da eliminação de Gauss e o método de Gauss-Jacobi, usando 4 iterações e x^0=(-0.2,0.1,-0.2,0.1).
3 x1+3 x2 & =1 3 x2-3 x3 & =1 3 x2+3 x3+3 x4 & =0 3 x4 & =0

Passo 1

O enunciado pede a solução do sistema
3x1+3x2=1, 3x2-3x3=1, 3x2+3x3+3x4=0, 3x4=0,
usando (i) eliminação de Gauss (solução exata) e (ii) método de Gauss–Jacobi por 4 iterações, partindo de ,x^0=(-0.2,,0.1,,-0.2,,0.1).
Conteúdo: resolução de sistemas lineares e método iterativo de Jacobi.

Passo 2

Eliminação de Gauss (back-substitution direta):
Da quarta equação
3x4=0
vem
x4=0
Na terceira equação, substituindo x4=0:
3x2+3x3+3cdot0=0
x2+x3=0
x3=-x2
Na segunda equação, usando x3=-x2:
3x2-3(-x2)=1
6x2=1
x2=tfrac16
Logo
x3=-tfrac16
Na primeira equação, com x2=tfrac16:
3x1+3cdottfrac16=1
3x1+tfrac12=1
3x1=tfrac12
x1=tfrac16

Passo 3

Método de Gauss–Jacobi: escrevemos na forma x^k+1=D^-1(b-(L+U)x^k). As fórmulas iterativas são
x1^k+1=1-3x2^k3 =13 - x2^k, x2^k+1=1+3x3^k3 =13 + x3^k,
x3^k+1=0-3x2^k-3x4^k3 =-x2^k-x4^k, x4^k+1=0-3x3^k3 =-x3^k

Passo 4

Aplicando as fórmulas para k=0,1,2,3,4 (com aproximação a quatro casas decimais):
k x1^k x2^k x3^k x4^k
0 -0.2 0.1 -0.2 0.1
1 0.2333 0.1333 -0.2 0.2
2 0.2000 0.1333 -0.3333 0.2
3 0.2000 0.0000 -0.3333 0.3333
4 0.3333 0.0000 -0.3333 0.3333

Resposta

Solução exata (eliminação de Gauss):
l(x1,x2,x3,x4r) =l(tfrac16,,tfrac16,,-tfrac16,,0r)
Aproximação após 4 iterações de Gauss–Jacobi:
x^4approx(0.3333,;0,;-0.3333,;0.3333)

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