Resolva as inequações racionais abaixo, determinando o conjunto solução. Utilize a análise de sinais com base nas raízes do numerador e do denominador.
2 x^3-3 x^2-2 x+3x+5<0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação racional
2x^3-3x^2-2x+3x+5<0
O conteúdo é análise de sinais de uma função racional, e vamos precisar fatorar o numerador, encontrar as raízes do numerador e do denominador, e estudar os sinais de cada fator nos intervalos determinados por essas raízes.

Passo 2

Vamos fatorar o numerador 2x^3-3x^2-2x+3 por agrupamento:
2x^3-3x^2-2x+3 = (2x^3-3x^2) +(-2x+3) = x^2(2x-3)-1(2x-3) = (2x-3)(x^2-1) = (2x-3)(x-1)(x+1)

Passo 3

Os fatores da expressão são
2x-3, x-1, x+1, x+5
As raízes são
2x-3=0implies x=tfrac32, x-1=0implies x=1, x+1=0implies x=-1, x+5=0implies x=-5
O ponto x=-5 está proibido (denominador zero). Assim, os valores críticos ordenados são
- infty,;-5,;-1,;1,;tfrac32,;+infty

Passo 4

Analisamos o sinal de cada fator em cada intervalo:
– Em (-infty,-5), todos os fatores 2x-3,;x-1,;x+1 são negativos e x+5 é negativo, logo a fração é positiva.
– Em (-5,-1), os três fatores do numerador continuam negativos e o denominador é positivo, então a fração é negativa.
– Em (-1,1), o numerador tem dois fatores negativos e um positivo (produto positivo) e o denominador é positivo, portanto fração positiva.
– Em (1,tfrac32), o numerador tem um fator negativo (2x-3<0) e dois positivos, o denominador é positivo, logo fração negativa.
– Em (tfrac32,+infty), todos os fatores são positivos e o denominador também, resultando em fração positiva.

Passo 5

Como queremos 2x^3-3x^2-2x+3x+5<0, selecionamos os intervalos onde a fração é negativa:
(-5,-1)e(1,tfrac32)

Resposta

xin(-5,-1)cupl(1,tfrac32r)

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