Resolva as inequações racionais abaixo, determinando o conjunto solução. Utilize a análise de sinais com base nas raízes do numerador e do denominador.
x^4-5 x^3+6 x^2+4 x-8x-9 >= 0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação racional
x^4-5x^3+6x^2+4x-8x-9>= 0
usando análise de sinais. Vamos precisar fatorar o numerador, identificar as raízes do numerador e do denominador, e montar o quadro de sinais.

Passo 2

Começamos fatorando o numerador x^4-5x^3+6x^2+4x-8. Pelos candidatos pm1,pm2,pm4,pm8, encontramos raiz x=2. Fazendo divisão sintética sucessiva, obtemos a fatoração completa:
x^4-5x^3+6x^2+4x-8 = (x-2)^3(x+1)
O denominador x-9 se anula em x=9.

Passo 3

Os pontos críticos são as raízes do numerador e do denominador:
x=-1, x=2, x=9
Como (x-2)^3 tem multiplicidade ímpar e (x+1) também, cada vez que cruzamos x=-1 ou x=2 o sinal da função muda. No denominador x=9 também muda o sinal, mas esse ponto deve ser excluído.

Passo 4

Escolhendo um ponto em cada intervalo formado por -1,2,9, ou usando a regra de mudança de sinal a cada raiz de multiplicidade ímpar, temos o seguinte quadro de sinais para
R(x)=(x-2)^3(x+1)x-9,:
  • Em (-infty,-1): R(x)<0
  • Em (-1,2): R(x)>0
  • Em (2,9): R(x)<0
  • Em (9,infty): R(x)>0

Passo 5

Queremos R(x)>=0. Incluímos os zeros do numerador ( x=-1 e x=2), mas excluímos x=9 (onde a função não está definida). Assim o conjunto–solução é
[-1,2];cup;(9,infty)

Resposta

[-1,2]cup(9,infty)

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