Resolva as inequações racionais abaixo, determinando o conjunto solução. Utilize a análise de sinais com base nas raízes do numerador e do denominador.
x^4-3 x^3-7 x^2+27 x-18x-1<0

Passo 1

O enunciado nos pede para resolver a inequação racional
x^4-3x^3-7x^2+27x-18x-1<0
O conteúdo envolvido é análise de sinais de uma expressão racional a partir das raízes do numerador e do denominador.

Passo 2

Para fatorar o numerador, verificamos que x=1 é raiz, pois
1^4 - 3cdot1^3 - 7cdot1^2 + 27cdot1 - 18 = 0
Dividindo por (x-1) via divisão sintética, obtemos o quociente x^3-2x^2-9x+18. Em seguida x=3 é raiz desse quociente e, depois de dividir por (x-3), chegamos ao fator restante x^2 + x -6, que se decompõe em (x+3)(x-2). Logo
x^4 - 3x^3 - 7x^2 + 27x - 18 = (x-1)(x-3)(x+3)(x-2)

Passo 3

Cancelamos o fator comum (x-1), lembrando que isso impõe a restrição xneq1. A inequação fica então
(x-3)(x+3)(x-2)<0,
com domínio Rsetminus1.

Passo 4

Agora analisamos o sinal do produto (x-3)(x+3)(x-2) nos intervalos formados pelas raízes -3, 2 e 3:
  • Em x<-3 todos os três fatores são negativos, portanto o produto é negativo.
  • Em -3<x<2 dois fatores são negativos e um positivo, logo o produto é positivo.
  • Em 2<x<3 apenas um fator é negativo, então o produto é negativo.
  • Em x>3 todos os fatores são positivos, logo o produto é positivo.
Como x=1 não pertence ao domínio, os únicos intervalos onde a expressão original é negativa são
(-infty,-3)e(2,3)

Resposta

(-infty,-3)cup(2,3)

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