Resolva os itens a seguir:
Encontre o gradiente da função f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} dada por
f\left(x_{1}, x_{2}\right)=\left(x_{1}\right)^{2} x_{2}+\cos \left(x_{1} x_{2}\right)-4

Passo 1

O que o enunciado pede e o que ele nos dá:
  • Pede: encontrar o gradiente da função f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}.
  • Nos dão a função
f\left(x_{1},x_{2}\right)=\left(x_{1}\right)^{2}x_{2}+\cos\left(x_{1}x_{2}\right)-4.
  • Variáveis: x_{1} e x_{2} são as coordenadas em \mathbb{R}^{2}.
  • Resultado esperado: o gradiente \nabla f(x_{1},x_{2}), que é um vetor com as derivadas parciais de f em relação a x_{1} e x_{2}.

Passo 2

Definição e ferramentas que vamos usar (explicando devagarinho):
  • O gradiente é o vetor das derivadas parciais:
\nabla f(x_{1},x_{2})=\begin{pmatrix}\dfrac{\partial f}{\partial x_{1}}(x_{1},x_{2})\\[6pt]\dfrac{\partial f}{\partial x_{2}}(x_{1},x_{2})\end{pmatrix}.
  • Derivada parcial: ao calcular \dfrac{\partial f}{\partial x_{1}} tratamos x_{2} como constante; ao calcular \dfrac{\partial f}{\partial x_{2}} tratamos x_{1} como constante.
  • Regras que usaremos:
    • Regra do produto: para duas funções u(x) e v(x),
    \dfrac{d}{dx}\big(u(x)\,v(x)\big)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).No caso de uma função do tipo \left(x_{1}\right)^{2}x_{2}, quando derivamos em relação a x_{1} o x_{2} é constante, então fica simples.
    • Regra da cadeia: para g(x)=\cos(h(x)),
    g'(x)=-\sin(h(x))\cdot h'(x).Aqui h(x) será x_{1}x_{2} quando derivarmos a parte \cos(x_{1}x_{2}).]

Passo 3

Cálculo de \dfrac{\partial f}{\partial x_{1}}:
  • Escrevendo f em termos dos termos que dependem de x_{1}:
f(x_{1},x_{2})=\underbrace{\left(x_{1}\right)^{2}x_{2}}_{\text{termo A}}+\underbrace{\cos\left(x_{1}x_{2}\right)}_{\text{termo B}}-4.
  • Derivada do termo constante -4 é zero.
  • Termo A: ao derivar em relação a x_{1}, x_{2} é constante, então
\dfrac{\partial}{\partial x_{1}}\big((x_{1})^{2}x_{2}\big)=x_{2}\cdot\dfrac{d}{d x_{1}}\big((x_{1})^{2}\big)=x_{2}\cdot(2x_{1})=2x_{1}x_{2}.
  • Termo B: aplicar regra da cadeia com h(x_{1},x_{2})=x_{1}x_{2}. Derivada de \cos(h) é -\sin(h)\cdot h'. Aqui h'=\dfrac{\partial}{\partial x_{1}}(x_{1}x_{2})=x_{2}. Logo
\dfrac{\partial}{\partial x_{1}}\big(\cos(x_{1}x_{2})\big)=-\sin(x_{1}x_{2})\cdot x_{2}=-x_{2}\sin(x_{1}x_{2}).
  • Somando os termos:
\dfrac{\partial f}{\partial x_{1}}(x_{1},x_{2})=2x_{1}x_{2}-x_{2}\sin(x_{1}x_{2}).
  • Se quiser, fatorando x_{2}:
\dfrac{\partial f}{\partial x_{1}}(x_{1},x_{2})=x_{2}\big(2x_{1}-\sin(x_{1}x_{2})\big).

Passo 4

Cálculo de \dfrac{\partial f}{\partial x_{2}}:
  • Novamente, separar os termos:
    • Termo A: (x_{1})^{2}x_{2}. Agora x_{1} é tratado como constante, então a derivada em relação a x_{2} é simplesmente
\dfrac{\partial}{\partial x_{2}}\big((x_{1})^{2}x_{2}\big)=(x_{1})^{2}\cdot\dfrac{d}{dx_{2}}(x_{2})=(x_{1})^{2}.
  • Termo B: \cos(x_{1}x_{2}). Aplicando regra da cadeia com h(x_{1},x_{2})=x_{1}x_{2}, agora \dfrac{\partial}{\partial x_{2}}(x_{1}x_{2})=x_{1}. Assim
\dfrac{\partial}{\partial x_{2}}\big(\cos(x_{1}x_{2})\big)=-\sin(x_{1}x_{2})\cdot x_{1}=-x_{1}\sin(x_{1}x_{2}).
  • Somando:
\dfrac{\partial f}{\partial x_{2}}(x_{1},x_{2})=x_{1}^{2}-x_{1}\sin(x_{1}x_{2}).
  • Fatorando x_{1}, se preferir:
\dfrac{\partial f}{\partial x_{2}}(x_{1},x_{2})=x_{1}\big(x_{1}-\sin(x_{1}x_{2})\big).

Passo 5

Juntando os dois componentes, temos o gradiente completo:
\nabla f(x_{1},x_{2})=\begin{pmatrix} \dfrac{\partial f}{\partial x_{1}}(x_{1},x_{2})\\[6pt] \dfrac{\partial f}{\partial x_{2}}(x_{1},x_{2}) \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 2x_{1}x_{2}-x_{2}\sin(x_{1}x_{2})\\[6pt] x_{1}^{2}-x_{1}\sin(x_{1}x_{2}) \end{pmatrix}.
Pequeno comentário prático: cada componente dá a taxa de variação de f ao mover-se ao longo do eixo correspondente; por exemplo, em (x_{1},x_{2})=(1,0) o gradiente vale
\nabla f(1,0)=\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\end{pmatrix},
ou seja, ali a variação na direção x_{1} é zero e na direção x_{2} é 1. Força e ânimo — é só aplicar produto e cadeia com calma!]

Resposta

\nabla f(x_{1},x_{2})=\begin{pmatrix}2x_{1}x_{2}-x_{2}\sin(x_{1}x_{2})\\[6pt]x_{1}^{2}-x_{1}\sin(x_{1}x_{2})\end{pmatrix}]

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