Derivada parcial: ao calcular \dfrac{\partial f}{\partial x_{1}} tratamos x_{2} como constante; ao calcular \dfrac{\partial f}{\partial x_{2}} tratamos x_{1} como constante.
Regras que usaremos:
Regra do produto: para duas funções u(x) e v(x),
\dfrac{d}{dx}\big(u(x)\,v(x)\big)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).No caso de uma função do tipo \left(x_{1}\right)^{2}x_{2}, quando derivamos em relação a x_{1} o x_{2} é constante, então fica simples.
Regra da cadeia: para g(x)=\cos(h(x)),
g'(x)=-\sin(h(x))\cdot h'(x).Aqui h(x) será x_{1}x_{2} quando derivarmos a parte \cos(x_{1}x_{2}).]
Passo 3
Cálculo de \dfrac{\partial f}{\partial x_{1}}:
Escrevendo f em termos dos termos que dependem de x_{1}:
Termo B: aplicar regra da cadeia com h(x_{1},x_{2})=x_{1}x_{2}. Derivada de \cos(h) é -\sin(h)\cdot h'. Aqui h'=\dfrac{\partial}{\partial x_{1}}(x_{1}x_{2})=x_{2}. Logo
Pequeno comentário prático: cada componente dá a taxa de variação de f ao mover-se ao longo do eixo correspondente; por exemplo, em (x_{1},x_{2})=(1,0) o gradiente vale