Resolva os itens a seguir:
Encontre a matriz jacobiana associada à função F: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} dada por
F\left(x_{1}, x_{2}\right)=\left(x_{1} \cos \left(x_{1}\right)+x_{2}, e^{-2 x_{1}+x_{2}}\right)

Passo 1

O enunciado dá a função F:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 definida por
F(x_{1},x_{2})=\bigl(x_{1}\cos(x_{1})+x_{2},\;e^{-2x_{1}+x_{2}}\bigr).
O que é pedido: encontrar a matriz jacobiana associada a F.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função tem duas componentes: f_{1}(x_{1},x_{2})=x_{1}\cos(x_{1})+x_{2} e f_{2}(x_{1},x_{2})=e^{-2x_{1}+x_{2}}.
  • A variável independente é o par (x_{1},x_{2})\in\mathbb{R}^2.

Passo 2

O que é a matriz jacobiana (explicação didática): a matriz jacobiana de F em (x_{1},x_{2}) é a matriz 2\times2 cujas entradas são as derivadas parciais das componentes de F. Em termos práticos:
J_{F}(x_{1},x_{2})= \begin{pmatrix} \displaystyle \frac{\partial f_{1}}{\partial x_{1}} & \displaystyle \frac{\partial f_{1}}{\partial x_{2}} \\[8pt] \displaystyle \frac{\partial f_{2}}{\partial x_{1}} & \displaystyle \frac{\partial f_{2}}{\partial x_{2}} \end{pmatrix}.
Aqui cada entrada significa: por exemplo, \frac{\partial f_{1}}{\partial x_{1}} é a taxa de variação de f_{1} quando apenas x_{1} varia e x_{2} é mantido fixo.]

Passo 3

Cálculo de \displaystyle \frac{\partial f_{1}}{\partial x_{1}}.
Temos f_{1}(x_{1},x_{2})=x_{1}\cos(x_{1})+x_{2}. A parte dependente de x_{1} é x_{1}\cos(x_{1}). Para derivar isso usamos a regra do produto: se u(x_{1})=x_{1} e v(x_{1})=\cos(x_{1}), então
\frac{d}{dx_{1}}\bigl(u v\bigr)=u'\,v + u\,v'.
Aqui u'(x_{1})=1 e v'(x_{1})=-\sin(x_{1}). Logo
\frac{\partial}{\partial x_{1}}\bigl(x_{1}\cos(x_{1})\bigr) =1\cdot\cos(x_{1}) + x_{1}\cdot\bigl(-\sin(x_{1})\bigr) =\cos(x_{1})-x_{1}\sin(x_{1}).
A outra parcela +x_{2} não depende de x_{1}, então sua derivada parcial em relação a x_{1} é 0. Portanto
\frac{\partial f_{1}}{\partial x_{1}}(x_{1},x_{2})=\cos(x_{1})-x_{1}\sin(x_{1}).

Passo 4

Cálculo de \displaystyle \frac{\partial f_{1}}{\partial x_{2}}.
Como f_{1}(x_{1},x_{2})=x_{1}\cos(x_{1})+x_{2} e apenas o termo x_{2} depende de x_{2} de forma linear, a derivada parcial é simplesmente
\frac{\partial f_{1}}{\partial x_{2}}(x_{1},x_{2})=1.

Passo 5

Cálculo de \displaystyle \frac{\partial f_{2}}{\partial x_{1}}.
Temos f_{2}(x_{1},x_{2})=e^{-2x_{1}+x_{2}}. Para derivar uma exponencial composta usamos a regra da cadeia: se g(x_{1},x_{2})=-2x_{1}+x_{2}, então
\frac{\partial}{\partial x_{1}}e^{g(x_{1},x_{2})}=e^{g(x_{1},x_{2})}\cdot\frac{\partial g}{\partial x_{1}}.
Aqui \displaystyle \frac{\partial g}{\partial x_{1}}=-2. Portanto
\frac{\partial f_{2}}{\partial x_{1}}(x_{1},x_{2})=-2\,e^{-2x_{1}+x_{2}}.

Passo 6

Cálculo de \displaystyle \frac{\partial f_{2}}{\partial x_{2}}.
Usando a mesma ideia da regra da cadeia, agora \displaystyle \frac{\partial g}{\partial x_{2}}=1. Então
\frac{\partial f_{2}}{\partial x_{2}}(x_{1},x_{2})=1\cdot e^{-2x_{1}+x_{2}}=e^{-2x_{1}+x_{2}}.

Passo 7

Montagem final da matriz jacobiana: juntando as derivadas parciais obtidas, a matriz jacobiana J_{F}(x_{1},x_{2}) é
J_{F}(x_{1},x_{2})= \begin{pmatrix} \cos(x_{1})-x_{1}\sin(x_{1}) & 1 \\[6pt] -2\,e^{-2x_{1}+x_{2}} & e^{-2x_{1}+x_{2}} \end{pmatrix}.
Interpretando: a primeira linha mostra como a primeira componente de F muda com x_{1} e x_{2}; a segunda linha mostra como a segunda componente muda com x_{1} e x_{2}. Se quiser avaliar a matriz em um ponto específico, basta substituir os valores de x_{1} e x_{2} nessa expressão.]

Resposta

\begin{pmatrix} \cos(x_{1})-x_{1}\sin(x_{1}) & 1 \\[6pt] -2\,e^{-2x_{1}+x_{2}} & e^{-2x_{1}+x_{2}} \end{pmatrix}]

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