O que é pedido: encontrar a matriz jacobiana associada a F.
Informações relevantes fornecidas:
A função tem duas componentes: f_{1}(x_{1},x_{2})=x_{1}\cos(x_{1})+x_{2} e f_{2}(x_{1},x_{2})=e^{-2x_{1}+x_{2}}.
A variável independente é o par (x_{1},x_{2})\in\mathbb{R}^2.
Passo 2
O que é a matriz jacobiana (explicação didática): a matriz jacobiana de F em (x_{1},x_{2}) é a matriz 2\times2 cujas entradas são as derivadas parciais das componentes de F. Em termos práticos:
Aqui cada entrada significa: por exemplo, \frac{\partial f_{1}}{\partial x_{1}} é a taxa de variação de f_{1} quando apenas x_{1} varia e x_{2} é mantido fixo.]
Passo 3
Cálculo de \displaystyle \frac{\partial f_{1}}{\partial x_{1}}.
Temos f_{1}(x_{1},x_{2})=x_{1}\cos(x_{1})+x_{2}. A parte dependente de x_{1} é x_{1}\cos(x_{1}). Para derivar isso usamos a regra do produto: se u(x_{1})=x_{1} e v(x_{1})=\cos(x_{1}), então
Cálculo de \displaystyle \frac{\partial f_{1}}{\partial x_{2}}.
Como f_{1}(x_{1},x_{2})=x_{1}\cos(x_{1})+x_{2} e apenas o termo x_{2} depende de x_{2} de forma linear, a derivada parcial é simplesmente
Cálculo de \displaystyle \frac{\partial f_{2}}{\partial x_{1}}.
Temos f_{2}(x_{1},x_{2})=e^{-2x_{1}+x_{2}}. Para derivar uma exponencial composta usamos a regra da cadeia: se g(x_{1},x_{2})=-2x_{1}+x_{2}, então
Cálculo de \displaystyle \frac{\partial f_{2}}{\partial x_{2}}.
Usando a mesma ideia da regra da cadeia, agora \displaystyle \frac{\partial g}{\partial x_{2}}=1. Então
Interpretando: a primeira linha mostra como a primeira componente de F muda com x_{1} e x_{2}; a segunda linha mostra como a segunda componente muda com x_{1} e x_{2}. Se quiser avaliar a matriz em um ponto específico, basta substituir os valores de x_{1} e x_{2} nessa expressão.]