Resolva os limites abaixo. Utilize a regra de L’Hospital quando possivel c, quando não, explore por que não pode usar-la.
lim x infty(3-2 x5-2 x)^2 x+1

Passo 1

O enunciado pede
limx to infty(3 - 2x5 - 2x)^2x+1
Aqui temos forma indeterminada 1^infty. Para resolver, vamos usar o truque de tomar o logaritmo natural e em seguida aplicar a regra de L’Hospital.

Passo 2

Definimos
y = (3 - 2x5 - 2x)^2x+1
Observe que 3 - 2x = -(2x - 3) e 5 - 2x = -(2x - 5), logo
3 - 2x5 - 2x = 2x - 32x - 5 Longrightarrow y = (2x - 32x - 5)^2x+1

Passo 3

Tomamos logaritmo natural em ambos os lados:
ln y = (2x+1)l[ln(2x-3) - ln(2x-5)r]
Como ln(2x-3)-ln(2x-5)to0 e 2x+1toinfty, temos 0cdotinfty. Reescrevemos como quociente:
ln y = ln(2x-3)-ln(2x-5)1/(2x+1),
que é da forma 0/0 quando xtoinfty, permitindo usar L’Hospital.

Passo 4

Aplicando a regra de L’Hospital, derivamos numerador e denominador:
ddxl[ln(2x-3)-ln(2x-5)r] = 22x-3-22x-5,
ddxl[12x+1r] = -2(2x+1)^2
Logo
limxtoinftyln y = limxtoinfty tfrac22x-3-tfrac22x-5-tfrac2(2x+1)^2

Passo 5

Simplificando o numerador:
22x-3-22x-5 =2(2x-5)-(2x-3)(2x-3)(2x-5) =-4(2x-3)(2x-5),
então
limxtoinftyln y = limxtoinfty -tfrac4(2x-3)(2x-5)-tfrac2(2x+1)^2 = limxtoinfty 2,(2x+1)^2(2x-3)(2x-5) =2

Resposta

Como ln yto2, segue yto e^2. Portanto,
limxtoinfty(3-2x5-2x)^2x+1 = e^2

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