Resolva os limites abaixo. Utilize a regra de L’Hospital quando possivel c, quando não, explore por que não pode usar-la.
lim x 1(1ln x-13(x-1))

Passo 1

O problema pede
Aqui cada parcela tende a quando , gerando uma forma indeterminada do tipo "). Para resolver, primeiro vamos juntar tudo num único quociente, e aí poderemos usar a regra de L’Hospital.

Passo 2

Vamos reescrever a diferença com denominador comum:
1ln x-13(x-1) =3(x-1)-ln x3(x-1),ln x

Passo 3

Agora observamos o tipo de indeterminação ao tomar xto1:
— No numerador, 3(x-1)-ln xto3cdot0-0=0.
— No denominador, 3(x-1),ln xto3cdot0cdot0=0.
'E, portanto, uma forma 0/0, que nos autoriza a aplicar L’Hospital.

Passo 4

Aplicamos L’Hospital, derivando numerador e denominador em relação a x:
— Numerador N(x)=3(x-1)-ln x Rightarrow
N'(x)=3-1x
— Denominador D(x)=3(x-1),ln x Rightarrow
D'(x) =3l[(x-1)1x+ln xcdot1r] =3l(x-1x+ln xr)
Assim a quantidade passa a ser
limxto1N'(x)D'(x) =limxto1 3-tfrac1x3l(tfracx-1x+ln xr)
Ao substituir x=1:
3-tfrac1xto3-1=2.
tfracx-1x+ln xto0+0=0.
Logo obtemos 2/0, o que indica divergência infinita.

Passo 5

O resultado 2/0 significa que o limite cresce sem limite de um lado e decresce sem limite do outro. Especificamente,
limxto1^+l(1ln x-13(x-1)r)=+infty, limxto1^-l(1ln x-13(x-1)r)=-infty
Portanto, o limite bilateral não existe (é divergente).

Resposta

O limite não existe, pois diverge para +infty pela direita e para -infty pela esquerda.

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