Resolva pelo método de fatoração de Cholesky o sistema linear abaixo.
\left\{\begin{aligned} 4 x_{1}+2 x_{2}+14 x_{3} & =-6 \\\\ 2 x_{1}+17 x_{2}-5 x_{3} & =9 \\\\ 14 x_{1}-5 x_{2}+83 x_{3} & =-55 \end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado dá um sistema linear de três equações com três incógnitas x_{1},x_{2},x_{3}\) e pede para resolvê-lo. As equações fornecidas são: \[\begin{cases} 4 x_{1}+2 x_{2}+14 x_{3} = -6 \\\\ 2 x_{1}+17 x_{2}-5 x_{3} = 9 \\\\ 14 x_{1}-5 x_{2}+83 x_{3} = -55 \end{cases}
Informações relevantes extraídas do enunciado:
A=\begin{pmatrix} 4 & 2 & 14\\[4pt] 2 & 17 & -5\\[4pt] 14 & -5 & 83 \end{pmatrix},\qquad b=\begin{pmatrix}-6\\[4pt]9\\[4pt]-55\end{pmatrix}
O objetivo é encontrar o vetor x=\begin{pmatrix}x_{1}\\[4pt]x_{2}\\[4pt]x_{3}\end{pmatrix}\] solução de \(A x = b.]

Passo 2

Vamos representar o sistema na forma matricial
A x = b
onde A e b são os dados do passo anterior. A ideia é fatorar A como produto de uma matriz triangular inferior L pela sua transposta L^{T}:
A = L\,L^{T}.
Aqui L é uma matriz triangular inferior com elementos l_{ij} (com l_{ij}=0 se i<j). Depois que tivermos L, resolvemos primeiro
L y = b
por substituição direta (forward substitution) para obter y, e em seguida
L^{T} x = y
por retro-substituição (back substitution) para obter x.

Passo 3

Fórmulas usadas na fatoração de Cholesky (explicando as variáveis):
  • l_{11} = \sqrt{a_{11}}.
  • Para i>1, l_{i1} = \dfrac{a_{i1}}{l_{11}}.
  • Para j\ge 2, l_{jj} = \sqrt{\,a_{jj} - \sum_{k=1}^{j-1} l_{jk}^{2}\,}.
  • Para i>j, l_{ij} = \dfrac{1}{l_{jj}}\left(a_{ij} - \sum_{k=1}^{j-1} l_{ik} l_{jk}\right).
Aqui a_{ij} são os elementos da matriz A, l_{ij} são os elementos que queremos para L. Essas fórmulas vêm de igualar A = L L^{T} entrada a entrada e resolver para os l_{ij}.

Passo 4

Calculemos os elementos de L passo a passo.
Primeiro, o elemento l_{11}:
l_{11} = \sqrt{a_{11}} = \sqrt{4} = 2.
Agora os elementos da primeira coluna com i>1:
l_{21} = \frac{a_{21}}{l_{11}} = \frac{2}{2} = 1,
l_{31} = \frac{a_{31}}{l_{11}} = \frac{14}{2} = 7.

Passo 5

Seguimos para o elemento l_{22}:
l_{22} = \sqrt{a_{22} - l_{21}^{2}} = \sqrt{17 - 1^{2}} = \sqrt{16} = 4.
Agora o elemento l_{32} (posição (3,2) de L), usando a fórmula para i>j:
l_{32} = \frac{1}{l_{22}}\big(a_{32} - l_{31}l_{21}\big) = \frac{-5 - (7)(1)}{4} = \frac{-12}{4} = -3.
Por fim, o elemento l_{33}:
l_{33} = \sqrt{a_{33} - l_{31}^{2} - l_{32}^{2}} = \sqrt{83 - 7^{2} - (-3)^{2}} = \sqrt{83 - 49 - 9} = \sqrt{25} = 5.

Passo 6

Escrevendo a matriz L obtida:
L = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0\\[4pt] 1 & 4 & 0\\[4pt] 7 & -3 & 5 \end{pmatrix}.
Uma checagem rápida (apenas alguns elementos) mostra que L L^{T} reproduz os elementos de A: por exemplo, o elemento (1,3) de L L^{T} é 2\cdot7 = 14, que coincide com a_{13}=14. Isso dá confiança de que a fatoração está correta.]

Passo 7

Agora resolvemos L y = b por substituição direta. Escrevendo as equações (cada número em TeX):
\begin{cases} 2 y_{1} = -6,\\[4pt] 1\cdot y_{1} + 4 y_{2} = 9,\\[4pt] 7\cdot y_{1} + (-3)\cdot y_{2} + 5 y_{3} = -55. \end{cases}
Resolvendo passo a passo:
y_{1} = \frac{-6}{2} = -3.
4 y_{2} = 9 - 1\cdot y_{1} = 9 - (-3) = 12 \quad\Rightarrow\quad y_{2} = \frac{12}{4} = 3.
5 y_{3} = -55 - 7\cdot y_{1} - (-3)\cdot y_{2} = -55 - 7(-3) +3\cdot 3 = -55 +21 +9 = -25,
\Rightarrow\quad y_{3} = \frac{-25}{5} = -5.
Portanto
y = \begin{pmatrix}-3\\[4pt]3\\[4pt]-5\end{pmatrix}.]

Passo 8

Agora resolvemos L^{T} x = y por retro-substituição. Escrita das equações (observe L^{T} é triangular superior):
\begin{cases} 2 x_{1} + 1 x_{2} + 7 x_{3} = -3,\\[4pt] 4 x_{2} -3 x_{3} = 3,\\[4pt] 5 x_{3} = -5. \end{cases}
Começando de baixo:
x_{3} = \frac{-5}{5} = -1.
4 x_{2} = 3 + 3 x_{3} = 3 + 3(-1) = 0 \quad\Rightarrow\quad x_{2} = 0.
2 x_{1} = -3 - 1\cdot x_{2} - 7\cdot x_{3} = -3 - 0 - 7(-1) = -3 +7 = 4,
\Rightarrow\quad x_{1} = \frac{4}{2} = 2.
Assim obtemos
x = \begin{pmatrix}2\\[4pt]0\\[4pt]-1\end{pmatrix}.]

Passo 9

Checagem rápida: substituindo na primeira equação,
4\cdot 2 + 2\cdot 0 + 14\cdot(-1) = 8 + 0 -14 = -6,
que coincide com o lado direito. As outras equações também conferem (pode verificar), então a solução é consistente.

Resposta

x_{1}=2
x_{2}=0
x_{3}=-1

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