O enunciado dá um sistema linear de três equações com três incógnitas x_{1},x_{2},x_{3}\) e pede para resolvê-lo. As equações fornecidas são:
\[\begin{cases} 4 x_{1}+2 x_{2}+14 x_{3} = -6 \\\\ 2 x_{1}+17 x_{2}-5 x_{3} = 9 \\\\ 14 x_{1}-5 x_{2}+83 x_{3} = -55 \end{cases}
O objetivo é encontrar o vetor x=\begin{pmatrix}x_{1}\\[4pt]x_{2}\\[4pt]x_{3}\end{pmatrix}\] solução de \(A x = b.]
Passo 2
Vamos representar o sistema na forma matricial
A x = b
onde A e b são os dados do passo anterior. A ideia é fatorar A como produto de uma matriz triangular inferior L pela sua transposta L^{T}:
A = L\,L^{T}.
Aqui L é uma matriz triangular inferior com elementos l_{ij} (com l_{ij}=0 se i<j). Depois que tivermos L, resolvemos primeiro
L y = b
por substituição direta (forward substitution) para obter y, e em seguida
L^{T} x = y
por retro-substituição (back substitution) para obter x.
Passo 3
Fórmulas usadas na fatoração de Cholesky (explicando as variáveis):
l_{11} = \sqrt{a_{11}}.
Para i>1, l_{i1} = \dfrac{a_{i1}}{l_{11}}.
Para j\ge 2, l_{jj} = \sqrt{\,a_{jj} - \sum_{k=1}^{j-1} l_{jk}^{2}\,}.
Para i>j, l_{ij} = \dfrac{1}{l_{jj}}\left(a_{ij} - \sum_{k=1}^{j-1} l_{ik} l_{jk}\right).
Aqui a_{ij} são os elementos da matriz A, l_{ij} são os elementos que queremos para L. Essas fórmulas vêm de igualar A = L L^{T} entrada a entrada e resolver para os l_{ij}.
Uma checagem rápida (apenas alguns elementos) mostra que L L^{T} reproduz os elementos de A: por exemplo, o elemento (1,3) de L L^{T} é 2\cdot7 = 14, que coincide com a_{13}=14. Isso dá confiança de que a fatoração está correta.]
Passo 7
Agora resolvemos L y = b por substituição direta. Escrevendo as equações (cada número em TeX):