Considere o sistema
\left\{\begin{array}{l} 5 x_{1}+x_{2}=5 \\\\ 3 x_{1}+9 x_{2}=-2 \end{array}\right.
resolva pelo método de Gauss-Jacobi com X^{(0)}=\left[\begin{array}{l}0 \\\\ 0\end{array}\right] e \varepsilon=0,05.

Passo 1

O enunciado dá o sistema
\left\{\begin{array}{l} 5x_{1}+x_{2}=5,\\[4pt] 3x_{1}+9x_{2}=-2, \end{array}\right.
o palpite inicial \,X^{(0)}=\begin{bmatrix}0\\[2pt]0\end{bmatrix}\, e a tolerância \varepsilon=0,05. Pede-se aplicar o método de Gauss–Jacobi até que a diferença entre iterações sucessivas seja menor que \varepsilon. Estas são todas as informações relevantes que vamos usar.]

Passo 2

Primeiro isolamos cada incógnita em sua própria equação (isso é o que o método Jacobi exige): a partir de 5x_{1}+x_{2}=5 isolamos x_{1} e a partir de 3x_{1}+9x_{2}=-2 isolamos x_{2}. Fazendo as contas temos
x_{1}=1-\tfrac{1}{5}x_{2}, \qquad x_{2}=-\tfrac{2}{9}-\tfrac{1}{3}x_{1}.
Essas fórmulas dizem: para calcular a nova aproximação de x_{1} usamos o valor antigo de x_{2}, e para x_{2} usamos o valor antigo de x_{1}.

Passo 3

Agora escrevemos as fórmulas iterativas do método de Gauss–Jacobi (usando sempre os valores da iteração anterior para todas as componentes):
x_{1}^{(k+1)}=1-\tfrac{1}{5}x_{2}^{(k)}, \qquad x_{2}^{(k+1)}=-\tfrac{2}{9}-\tfrac{1}{3}x_{1}^{(k)}.
Critério de parada: vamos parar quando a norma infinito da diferença entre iterações sucessivas for menor que \varepsilon, isto é quando
\|X^{(k+1)}-X^{(k)}\|_{\infty}=\max\bigl(|x_{1}^{(k+1)}-x_{1}^{(k)}|,\;|x_{2}^{(k+1)}-x_{2}^{(k)}|\bigr)<0,05.
(A norma infinito é prática porque basta olhar para a maior variação entre as componentes.)

Passo 4

Antes de iterar é bom checar se o método tende a convergir. Uma condição simples suficiente é a dominância diagonal: nas linhas da matriz dos coeficientes, o valor absoluto do elemento diagonal deve ser maior que a soma dos absolutos dos outros elementos da linha. A matriz é
A=\begin{pmatrix}5 & 1\\[2pt]3 & 9\end{pmatrix}.
Linha 1: |5|>|1|. Linha 2: |9|>|3|. Logo há dominância diagonal estrita em ambas as linhas, portanto a iteração de Jacobi converge aqui. Respira: estamos seguros para iterar.]

Passo 5

Vamos calcular iterações a partir de X^{(0)}=\begin{bmatrix}0\\[2pt]0\end{bmatrix}.
k=0 \to k=1:
x_{1}^{(1)}=1-\tfrac{1}{5}\cdot 0=1,\qquad x_{2}^{(1)}=-\tfrac{2}{9}-\tfrac{1}{3}\cdot 0=-\tfrac{2}{9}.
Logo
X^{(1)}=\begin{bmatrix}1\\[2pt]-\tfrac{2}{9}\end{bmatrix}\approx\begin{bmatrix}1,000000000\\[2pt]-0,222222222\end{bmatrix}.
Diferença \|X^{(1)}-X^{(0)}\|_{\infty}=1 (ainda muito maior que 0,05).]

Passo 6

k=1 \to k=2: usamos X^{(1)} nas fórmulas
x_{1}^{(2)}=1-\tfrac{1}{5}\left(-\tfrac{2}{9}\right)=1+\tfrac{2}{45}=\tfrac{47}{45},
x_{2}^{(2)}=-\tfrac{2}{9}-\tfrac{1}{3}\cdot 1=-\tfrac{5}{9}.
Assim
X^{(2)}=\begin{bmatrix}\tfrac{47}{45}\\[2pt]-\tfrac{5}{9}\end{bmatrix}\approx\begin{bmatrix}1,044444444\\[2pt]-0,555555556\end{bmatrix}.
Diferença para a iteração anterior:
\|X^{(2)}-X^{(1)}\|_{\infty}=\max\Bigl(|\tfrac{47}{45}-1|,\;|-\tfrac{5}{9}-(-\tfrac{2}{9})|\Bigr)=\max\bigl(\tfrac{2}{45},\tfrac{1}{3}\bigr)=\tfrac{1}{3}\approx 0,3333333.
Ainda maior que 0,05, continua.]

Passo 7

k=2 \to k=3:
x_{1}^{(3)}=1-\tfrac{1}{5}\left(-\tfrac{5}{9}\right)=1+\tfrac{1}{9}=\tfrac{10}{9},
x_{2}^{(3)}=-\tfrac{2}{9}-\tfrac{1}{3}\cdot \tfrac{47}{45}=-\tfrac{2}{9}-\tfrac{47}{135}=-\tfrac{77}{135}.
Portanto
X^{(3)}=\begin{bmatrix}\tfrac{10}{9}\\[2pt]-\tfrac{77}{135}\end{bmatrix}\approx\begin{bmatrix}1,111111111\\[2pt]-0,570370370\end{bmatrix}.
Diferença:
\|X^{(3)}-X^{(2)}\|_{\infty}=\max\Bigl(\bigl|\tfrac{10}{9}-\tfrac{47}{45}\bigr|,\;\bigl|-\tfrac{77}{135}-(-\tfrac{5}{9})\bigr|\Bigr)=\max\bigl(\tfrac{1}{15},\tfrac{2}{135}\bigr)=\tfrac{1}{15}\approx 0,0666667.
Ainda acima de 0,05, vamos mais uma iteração.]

Passo 8

k=3 \to k=4:
x_{1}^{(4)}=1-\tfrac{1}{5}\left(-\tfrac{77}{135}\right)=1+\tfrac{77}{675}=\tfrac{752}{675},
x_{2}^{(4)}=-\tfrac{2}{9}-\tfrac{1}{3}\cdot \tfrac{10}{9}=-\tfrac{2}{9}-\tfrac{10}{27}=-\tfrac{16}{27}.
Logo
X^{(4)}=\begin{bmatrix}\tfrac{752}{675}\\[2pt]-\tfrac{16}{27}\end{bmatrix}\approx\begin{bmatrix}1,114074074\\[2pt]-0,592592593\end{bmatrix}.
Diferença:
\|X^{(4)}-X^{(3)}\|_{\infty}=\max\Bigl(\bigl|\tfrac{752}{675}-\tfrac{10}{9}\bigr|,\;\bigl|-\tfrac{16}{27}-(-\tfrac{77}{135})\bigr|\Bigr)=\max\bigl(\tfrac{2}{675},\tfrac{1}{45}\bigr)=\tfrac{1}{45}\approx 0,0222222.
Como 0,0222222<0,05, o critério de parada foi satisfeito e paramos aqui. Beleza — já temos a aproximação dentro da tolerância pedida.]

Resposta

X^{(4)}=\begin{bmatrix}\dfrac{752}{675}\\[6pt]-\dfrac{16}{27}\end{bmatrix}\approx\begin{bmatrix}1,114074074\\[6pt]-0,592592593\end{bmatrix}]

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