Use a Fatoração de Cholesky para encontrar a solução de
\left\{\begin{array}{l} 4 x_{1}+2 x_{2}=4 \\\\ 2 x_{1}+5 x_{2}=10 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a solução do sistema
\left\{\begin{array}{l} 4 x_{1}+2 x_{2}=4,\\[4pt] 2 x_{1}+5 x_{2}=10 \end{array}\right.
usando a fatoração de Cholesky. As informações dadas são os coeficientes das equações: a_{11}=4, a_{12}=2, a_{21}=2, a_{22}=5 e o vetor do lado direito b_{1}=4, b_{2}=10.]

Passo 2

Escrevemos o sistema na forma matricial \;A x = b\;, com
A = \begin{pmatrix}4 & 2 \\[4pt] 2 & 5\end{pmatrix},\qquad x = \begin{pmatrix}x_{1}\\[4pt] x_{2}\end{pmatrix},\qquad b = \begin{pmatrix}4\\[4pt]10\end{pmatrix}.
Antes de aplicar Cholesky, observe que A é simétrica (pois a_{12}=a_{21}). Um requisito para a fatoração de Cholesky é que A seja positiva definida; podemos checar rapidamente os menores principais: \;4>0\; e
\det(A)=4\cdot5-2\cdot2=20-4=16>0.
Como os menores principais são positivos, A é simétrica definida positiva e admite fatoração de Cholesky.]

Passo 3

A ideia da fatoração de Cholesky é escrever
A = L L^{T},
onde L é triangular inferior com entradas positivas na diagonal. Para 2\times2 tomamos
L=\begin{pmatrix} \ell_{11} & 0 \\[4pt] \ell_{21} & \ell_{22} \end{pmatrix}.
Multiplicando L L^{T} obtemos
L L^{T} = \begin{pmatrix} \ell_{11}^{2} & \ell_{11}\ell_{21} \\[4pt] \ell_{11}\ell_{21} & \ell_{21}^{2}+\ell_{22}^{2} \end{pmatrix}.
Comparando termo a termo com A (igualando entradas correspondentes) chegamos às fórmulas:
\ell_{11}=\sqrt{a_{11}},\qquad \ell_{21}=\frac{a_{21}}{\ell_{11}},\qquad \ell_{22}=\sqrt{a_{22}-\ell_{21}^{2}}.
Explicação curta das fórmulas: a entrada (1,1) de LL^{T} é \ell_{11}^{2}, deve ser igual a a_{11}; a entrada (2,1) é \ell_{11}\ell_{21}, deve ser a_{21}; e a (2,2) é \ell_{21}^{2}+\ell_{22}^{2}, deve ser a_{22}. Por isso as expressões acima.]

Passo 4

Agora calculamos as componentes de L numericamente:
  • \displaystyle \ell_{11}=\sqrt{a_{11}}=\sqrt{4}=2.
  • \displaystyle \ell_{21}=\frac{a_{21}}{\ell_{11}}=\frac{2}{2}=1.
  • \displaystyle \ell_{22}=\sqrt{a_{22}-\ell_{21}^{2}}=\sqrt{5-1}=\sqrt{4}=2.
Portanto
L=\begin{pmatrix}2 & 0 \\[4pt] 1 & 2\end{pmatrix}, \qquad L^{T}=\begin{pmatrix}2 & 1 \\[4pt] 0 & 2\end{pmatrix}.]

Passo 5

Com A=LL^{T} resolvemos Ax=b em duas etapas: primeiro resolve-se \;L y = b\; por substituição direta (forward substitution), depois \;L^{T} x = y\; por retro-substituição (back substitution). Definimos y=\begin{pmatrix}y_{1}\\\ y_{2}\end{pmatrix}.
Escrevendo L y = b:
\begin{pmatrix}2 & 0 \\[4pt] 1 & 2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}y_{1}\\[4pt] y_{2}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4\\[4pt]10\end{pmatrix}.
As equações são:
2 y_{1} = 4,
1\cdot y_{1} + 2 y_{2} = 10.
Resolvem-se em ordem: da primeira equação
y_{1}=\frac{4}{2}=2.
Substituindo na segunda:
2 + 2 y_{2} = 10 \quad\Rightarrow\quad 2 y_{2}=8 \quad\Rightarrow\quad y_{2}=4.
Logo
y=\begin{pmatrix}2\\[4pt]4\end{pmatrix}.]

Passo 6

Agora resolvemos L^{T} x = y:
\begin{pmatrix}2 & 1 \\[4pt] 0 & 2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_{1}\\[4pt] x_{2}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2\\[4pt]4\end{pmatrix}.
As equações são (fazendo retro-substituição, ou seja, começando pela última):
2 x_{2} = 4,
2 x_{1} + 1\cdot x_{2} = 2.
Da primeira:
x_{2}=\frac{4}{2}=2.
Substituindo na segunda:
2 x_{1} + 2 = 2 \quad\Rightarrow\quad 2 x_{1}=0 \quad\Rightarrow\quad x_{1}=0.
Portanto
x=\begin{pmatrix}0\\[4pt]2\end{pmatrix}.]

Passo 7

Verificação rápida: substituindo na primeira equação original:
4\cdot 0 + 2\cdot 2 = 0 + 4 = 4 \quad\checkmark.
Segunda equação:
2\cdot 0 + 5\cdot 2 = 0 +10 = 10 \quad\checkmark.
As duas equações ficam satisfeitas, solução confirmada.

Resposta

x_{1}=0\
x_{2}=2

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