usando a fatoração de Cholesky. As informações dadas são os coeficientes das equações: a_{11}=4, a_{12}=2, a_{21}=2, a_{22}=5 e o vetor do lado direito b_{1}=4, b_{2}=10.]
Passo 2
Escrevemos o sistema na forma matricial \;A x = b\;, com
A = \begin{pmatrix}4 & 2 \\[4pt] 2 & 5\end{pmatrix},\qquad x = \begin{pmatrix}x_{1}\\[4pt] x_{2}\end{pmatrix},\qquad b = \begin{pmatrix}4\\[4pt]10\end{pmatrix}.
Antes de aplicar Cholesky, observe que A é simétrica (pois a_{12}=a_{21}). Um requisito para a fatoração de Cholesky é que A seja positiva definida; podemos checar rapidamente os menores principais: \;4>0\; e
\det(A)=4\cdot5-2\cdot2=20-4=16>0.
Como os menores principais são positivos, A é simétrica definida positiva e admite fatoração de Cholesky.]
Passo 3
A ideia da fatoração de Cholesky é escrever
A = L L^{T},
onde L é triangular inferior com entradas positivas na diagonal. Para 2\times2 tomamos
Explicação curta das fórmulas: a entrada (1,1) de LL^{T} é \ell_{11}^{2}, deve ser igual a a_{11}; a entrada (2,1) é \ell_{11}\ell_{21}, deve ser a_{21}; e a (2,2) é \ell_{21}^{2}+\ell_{22}^{2}, deve ser a_{22}. Por isso as expressões acima.]
Passo 4
Agora calculamos as componentes de L numericamente:
Com A=LL^{T} resolvemos Ax=b em duas etapas: primeiro resolve-se \;L y = b\; por substituição direta (forward substitution), depois \;L^{T} x = y\; por retro-substituição (back substitution). Definimos y=\begin{pmatrix}y_{1}\\\ y_{2}\end{pmatrix}.