O enunciado pede resolver dois sistemas lineares com a mesma matriz de coeficientes: primeiro (a) usando eliminação de Gauss; depois (b) fatorando a matriz em A=LU; e (c) usando essa fatoração para resolver um segundo sistema com a mesma matriz. As informações dadas são:
A matriz dos coeficientes A e os vetores termos são
As questões são:
(a) resolver A x = b^{(1)} por eliminação de Gauss;
(b) obter a fatoração A=LU (sem pivoteamento);
(c) usar essa fatoração para resolver A x = b^{(2)}.]
Passo 2
Método: eliminação de Gauss (explicação breve e fórmula de multiplicador).
Objetivo: transformar o sistema ampliado [A\mid b] em triangular superior U por operações elementares nas linhas.
Em cada etapa, para zerar a entrada a_{ij} abaixo do pivô a_{jj} usamos o multiplicador
\ell_{ij}=\frac{a_{ij}}{a_{jj}},
e fazemos a linha i ficar L_i \leftarrow L_i - \ell_{ij} L_j.
Esse \ell_{ij} será também o elemento L_{ij} da matriz L na fatoração A=LU.
Vamos aplicar isso ao sistema com b^{(1)}. Escrevemos a matriz aumentada inicial:
Back substitution para resolver U x = c, onde c é o vetor resultante após eliminação (no caso aqui é o b^{(1)} transformado; as últimas entradas que temos são os termos à direita na última matriz triangular):
Escrevemos as equações obtidas (da última linha para cima):
Da linha 4: \tfrac{14}{11}x_4=\tfrac{14}{11} ⇒ x_4=1.
Da linha 3: \tfrac{11}{3}x_3+\tfrac{7}{3}x_4=-5. Substituindo x_4=1:
Portanto a solução do sistema (a) é \,x=(1,6,-2,1)^T.
Passo 7
Fatoração A=LU (explicação e construção).
Usamos o método de Doolittle: L tem uns na diagonal e os multiplicadores usados durante a eliminação estão nas posições abaixo da diagonal; U é a matriz triangular superior obtida.
Os multiplicadores que encontramos nas etapas foram:\ell_{21}=-3,\quad \ell_{31}=-3,\quad \ell_{41}=2;
Verificação (rápida mental): multiplicando L por U recupera A (essa relação decorre diretamente do processo de eliminação que derivou U e armazenou os multiplicadores em L).]
Passo 8
Resolver A x = b^{(2)} usando A=LU.
Primeiro resolvemos L y = b^{(2)} por substituição direta (forward substitution).
Escrevendo b^{(2)}=(4,-2,-1,5)^T: