Resolva o sistema linear:
\left\{\begin{array}{l} 10 x_{1}+2 x_{2}+x_{3}=7 \\\ x_{1}+5 x_{2}+x_{3}=-8 \\\\ 2 x_{1}+3 x_{2}+10 x_{3}=6 \end{array}\right.
por Gauss-Jacobi, com x^{(0)}=\left(\begin{array}{c}0,7 \\\\ -1,6 \\\\ 0,6\end{array}\right) e \varepsilon=0,05

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema
\begin{cases} 10x_{1}+2x_{2}+x_{3}=7,\\\ x_{1}+5x_{2}+x_{3}=-8,\\\\ 2x_{1}+3x_{2}+10x_{3}=6 \end{cases}
usando o método de Gauss–Jacobi, com chute inicial
\mathbf{x}^{(0)}=\begin{pmatrix}0,7\\\ -1,6\\\ 0,6\end{pmatrix}
e tolerância \varepsilon=0,05. Vamos precisar verificar convergência (diagonalmente dominante), obter as fórmulas iterativas e repetir até \|\mathbf{x}^{(k+1)}-\mathbf{x}^{(k)}\|_{\infty}<0,05.

Passo 2

Verificamos que o sistema é estritamente diagonalmente dominante, pois
10>2+1,\quad 5>1+1,\quad 10>2+3,
logo o método de Jacobi converge.

Passo 3

Escrevemos as fórmulas de iteração de Jacobi isolando cada incógnita:
x_{1}^{(k+1)} =\frac{7-2x_{2}^{(k)}-x_{3}^{(k)}}{10},
x_{2}^{(k+1)} =\frac{-8 - x_{1}^{(k)}- x_{3}^{(k)}}{5},
x_{3}^{(k+1)} =\frac{6-2x_{1}^{(k)}-3x_{2}^{(k)}}{10}.

Passo 4

Cálculo de \mathbf{x}^{(1)} usando \mathbf{x}^{(0)}:
x_{1}^{(1)}=\frac{7-2(-1,6)-0,6}{10}=\frac{7+3,2-0,6}{10}=0,96,
x_{2}^{(1)}=\frac{-8-0,7-0,6}{5}=-1,86,
x_{3}^{(1)}=\frac{6-2\cdot0,7-3(-1,6)}{10}=\frac{6-1,4+4,8}{10}=0,94.
O erro infinito é
\|\mathbf{x}^{(1)}-\mathbf{x}^{(0)}\|_{\infty} =\max(0,96-0,7,\;|-1,86+1,6|,\;0,94-0,6)=0,34>0,05.

Passo 5

Cálculo de \mathbf{x}^{(2)}:
x_{1}^{(2)}=\frac{7-2(-1,86)-0,94}{10}=0,978,
x_{2}^{(2)}=\frac{-8-0,96-0,94}{5}=-1,98,
x_{3}^{(2)}=\frac{6-2\cdot0,96-3(-1,86)}{10}=0,966.
O erro infinito é
\|\mathbf{x}^{(2)}-\mathbf{x}^{(1)}\|_{\infty} =\max(0,978-0,96,\;|-1,98+1,86|,\;0,966-0,94)=0,12>0,05.

Passo 6

Cálculo de \mathbf{x}^{(3)}:
x_{1}^{(3)}=\frac{7-2(-1,98)-0,966}{10}=0,9994,
x_{2}^{(3)}=\frac{-8-0,978-0,966}{5}=-1,9888,
x_{3}^{(3)}=\frac{6-2\cdot0,978-3(-1,98)}{10}=0,9984.
O erro infinito é
\|\mathbf{x}^{(3)}-\mathbf{x}^{(2)}\|_{\infty} =\max(0,9994-0,978,\;|-1,9888+1,98|,\;0,9984-0,966)=0,0324<0,05.
Como o erro já ficou abaixo da tolerância, paramos aqui.

Resposta

\mathbf{x}\approx \begin{pmatrix} 0,9994\\\\ -1,9888\\\\ 0,9984 \end{pmatrix}.

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