Resolva
a_{n}-a_{n-1}-2 a_{n-2}=4 n
dados a_{0}=-4 e a_{1}=-5.

Passo 1

O enunciado dá a recorrência
a_{n}-a_{n-1}-2a_{n-2}=4n
com a_{0}=-4 e a_{1}=-5.
Este é um caso de recorrência linear de segunda ordem não homogênea com termo não homogêneo polinomial em n. Vamos (i) achar a solução geral da parte homogênea, (ii) encontrar uma solução particular por coeficientes a determinar e (iii) ajustar as constantes com as condições iniciais.

Passo 2

Para a parte homogênea, consideramos
a_{n}-a_{n-1}-2a_{n-2}=0.
A equação característica é
r^{2}-r-2=0,
cuja solução são r=2 e r=-1.
Logo a solução geral da parte homogênea é
a_{n}^{(h)}=A\cdot2^{n}+B\cdot(-1)^{n},
para constantes A e B.

Passo 3

Procuramos uma solução particular do tipo polinomial de grau 1:
a_{n}^{(p)}=Cn+D.
Substituindo na recorrência original:
(Cn+D)-\bigl(C(n-1)+D\bigr)-2\bigl(C(n-2)+D\bigr)=4n.
Isso leva a
-2Cn + (5C-2D)=4n.
Comparando coeficientes de n e termos independentes, obtemos
-2C=4\quad\Rightarrow\quad C=-2,
5C-2D=0\quad\Rightarrow\quad-10-2D=0\quad\Rightarrow\quad D=-5.
Portanto
a_{n}^{(p)}=-2n-5.

Passo 4

A solução geral da recorrência é a soma das partes homogênea e particular:
a_{n}=A\cdot2^{n}+B\cdot(-1)^{n}-2n-5.
Usamos a_{0}=-4\) e \(a_{1}=-5\) para determinar \(A\) e \(B\): para \(n=0\): \[A+B-5=-4\quad\Rightarrow\quad A+B=1,
para n=1:
2A - B -7=-5\quad\Rightarrow\quad2A-B=2.
Resolvendo o sistema
\begin{cases} A+B=1,\\\\ 2A-B=2, \end{cases}
vemos que A=1\] e \(B=0.

Resposta

a_{n}=2^{n}-2n-5.

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