Resolva
dados
e
.
Passo 1
O enunciado dá a recorrência
com
e
.
Este é um caso de recorrência linear de segunda ordem não homogênea com termo não homogêneo polinomial em . Vamos (i) achar a solução geral da parte homogênea, (ii) encontrar uma solução particular por coeficientes a determinar e (iii) ajustar as constantes com as condições iniciais.
Este é um caso de recorrência linear de segunda ordem não homogênea com termo não homogêneo polinomial em
Passo 2
Para a parte homogênea, consideramos
A equação característica é
cuja solução são
e
.
Logo a solução geral da parte homogênea é
Logo a solução geral da parte homogênea é
para constantes
e
.
Passo 3
Procuramos uma solução particular do tipo polinomial de grau 1:
Substituindo na recorrência original:
Isso leva a
Comparando coeficientes de
e termos independentes, obtemos
Portanto
Passo 4
A solução geral da recorrência é a soma das partes homogênea e particular:
Usamos
para
:
Resolvendo o sistema
vemos que
.