Resolva a recorrência
a_{n}-3 a_{n-1}+2 a_{n-2}=2^{n}
dados a_{0}=3 e a_{1}=8.

Passo 1

O enunciado fornece a recorrência linear de segunda ordem não homogênea
a_{n}-3a_{n-1}+2a_{n-2}=2^{n}
com condições iniciais a_{0}=3 e a_{1}=8.
Para resolver, vamos usar o método clássico de recurrences lineares:
  1. Encontrar a solução da parte homogênea.
  2. Encontrar uma solução particular do termo 2^{n}.
  3. Combinar e ajustar pelos valores iniciais.

Passo 2

A parte homogênea é
a_{n}^{(h)}-3a_{n-1}^{(h)}+2a_{n-2}^{(h)}=0.
A equação característica associada é
r^{2}-3r+2=0,
cuja fatoração é (r-1)(r-2)=0. Assim, os autovalores são r=1 e r=2, e a solução geral da homogênea é
a_{n}^{(h)}=A\cdot1^{n}+B\cdot2^{n}=A+B\,2^{n},
onde A e B são constantes a determinar.

Passo 3

Como o termo não homogêneo é 2^{n} e 2 é raiz simples da característica, fazemos o palpite
a_{n}^{(p)}=C\,n\,2^{n}.
Substituindo na recorrência:
\begin{aligned} a_{n}^{(p)}&=C\,n\,2^{n},\\\ a_{n-1}^{(p)}&=C\,(n-1)\,2^{n-1},\\\ a_{n-2}^{(p)}&=C\,(n-2)\,2^{n-2}. \end{aligned}
Logo o lado esquerdo vira
C\,n\,2^{n}-3C\,(n-1)\,2^{n-1}+2C\,(n-2)\,2^{n-2} =C\,2^{n}\Bigl(n-\tfrac{3(n-1)}{2}+\tfrac{n-2}{2}\Bigr) =C\,2^{n}\cdot\tfrac12 =C\,2^{n-1}.
Para isso ser igual a 2^{n}, precisamos de
C\,2^{n-1}=2^{n}\quad\Longrightarrow\quad C=2.
Assim,
a_{n}^{(p)}=2\,n\,2^{n}.

Passo 4

A solução geral da recorrência é a soma da homogênea com a particular:
a_{n}=A+B\,2^{n}+2\,n\,2^{n}.
Usamos as condições iniciais:
Para n=0\): \[a_{0}=A+B\cdot2^{0}+2\cdot0\cdot2^{0}=A+B=3.
Para n=1:
a_{1}=A+B\cdot2+2\cdot1\cdot2 =A+2B+4=8 \quad\Longrightarrow\quad A+2B=4.
Resolvendo o sistema
\begin{cases} A+B=3,\\\ A+2B=4, \end{cases}
temos B=1\] e \(A=2.

Resposta

\boxed{a_{n}=2+2^{n}+2\,n\,2^{n}=2+\bigl(1+2n\bigr)\,2^{n}.}

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