Resolva a recorrência
dados
e
.
Passo 1
O enunciado fornece a recorrência linear de segunda ordem não homogênea
com condições iniciais
e
.
Para resolver, vamos usar o método clássico de recurrences lineares:
Para resolver, vamos usar o método clássico de recurrences lineares:
- Encontrar a solução da parte homogênea.
- Encontrar uma solução particular do termo
. - Combinar e ajustar pelos valores iniciais.
Passo 2
A parte homogênea é
A equação característica associada é
cuja fatoração é
. Assim, os autovalores são
e
, e a solução geral da homogênea é
onde
e
são constantes a determinar.
Passo 3
Como o termo não homogêneo é
e
é raiz simples da característica, fazemos o palpite
Substituindo na recorrência:
Logo o lado esquerdo vira
Para isso ser igual a
, precisamos de
Assim,
Passo 4
A solução geral da recorrência é a soma da homogênea com a particular:
Usamos as condições iniciais:
Para
Para
:
Resolvendo o sistema
temos
.