Resolva a recorrência
a_{n}-4 a_{n-1}+4 a_{n-2}=2^{n}
dados a_{0}=0 e a_{1}=3.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a recorrência linear não homogênea de segunda ordem
a_{n} - 4a_{n-1} + 4a_{n-2} = 2^{n}
com condições iniciais a_{0}=0 e a_{1}=3.
O método é: (i) achar a solução geral da parte homogênea usando a equação característica, (ii) encontrar uma solução particular para o termo 2^n, e (iii) ajustar as constantes via as condições iniciais.

Passo 2

Primeiro, a parte homogênea é
a_{n} - 4a_{n-1} + 4a_{n-2} = 0.
A equação característica é
r^2 - 4r + 4 = 0,
que tem raiz dupla r=2. Logo, a solução geral homogênea é
a_n^{(h)} = C_1 \,2^n + C_2 \,n\,2^n.

Passo 3

Como o termo não homogêneo é 2^n e 2 é raiz dupla da característica, a forma de palpite deve ser multiplicada por n^2. Então tentamos
a_n^{(p)} = A\,n^2\,2^n.

Passo 4

Substituímos a_n^{(p)} na recorrência:
a_n^{(p)} - 4a_{n-1}^{(p)} + 4a_{n-2}^{(p)} = A\,n^2\,2^n - 4A\,(n-1)^2\,2^{n-1} + 4A\,(n-2)^2\,2^{n-2}.
Fatorando 2^n obtemos
2^n\bigl[A\,n^2 - 2A\,(n-1)^2 + A\,(n-2)^2\bigr].
O colchete simplifica para 2A, logo queremos 2^n\cdot 2A = 2^n. Assim
2A = 1 \quad\Longrightarrow\quad A = \tfrac12.
Portanto
a_n^{(p)} = \tfrac12\,n^2\,2^n.

Passo 5

A solução geral é
a_n = a_n^{(h)} + a_n^{(p)} = 2^n\bigl(C_1 + C_2\,n + \tfrac12\,n^2\bigr).
Usamos a_{0}=0:
0 = 2^0\bigl(C_1 + 0 + 0\bigr) \;\Longrightarrow\; C_1 = 0.
Usamos a_{1}=3:
3 = 2^1\bigl(0 + C_2\cdot1 + \tfrac12\cdot1^2\bigr) = 2\bigl(C_2 + \tfrac12\bigr) = 2C_2 + 1 \;\Longrightarrow\; C_2 = 1.
Substituindo em a_n vem
a_n = 2^n\Bigl(n + \tfrac12\,n^2\Bigr) = 2^{\,n-1}(n^2 + 2n) = n(n+2)\,2^{\,n-1}.

Resposta

a_n = n(n+2)\,2^{\,n-1}.

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