no intervalo [0,1] usando passo \,h=0,2.
Informações dadas (resumindo): \;1. Equação diferencial ordinária (homogênea) de terceira ordem: \;y^{\prime\prime\prime}+2y^{\prime\prime}-y^{\prime}-2y=0. \;2. Condições iniciais: \;y(0)=0,\;y'(0)=0,\;y''(0)=1. \;3. Intervalo: [0,1] com passo \;h=0,2, portanto pontos \;x_0=0,\;x_1=0,2,\;x_2=0,4,\;x_3=0,6,\;x_4=0,8,\;x_5=1,0.
Passo 2
Transformação para sistema de primeira ordem (explicando passo a passo, bem mastigado).
Como a equação é de terceira ordem, eu defino variáveis de estado para reduzir a ordem:
Substituindo u_i\), obtenho o sistema
\[\boxed{\,\begin{cases} u_1' = u_2,\\[4pt] u_2' = u_3,\\[4pt] u_3' = -2u_3 + u_2 + 2u_1, \end{cases}\,}
com condição inicial
(u_1(0),u_2(0),u_3(0))=(0,0,1).
Isto significa que, numericamente, vou avançar o vetor u=(u_1,u_2,u_3)\] de \(x_n para x_{n+1}=x_n+h.]
Passo 3
Escolha do método e explicação didática do método Runge–Kutta de ordem 4 (RK4).
Eu uso o método RK4 porque é um método explícito de alta precisão (erro por passo \mathcal{O}(h^5), erro global \mathcal{O}(h^4)) e é razoavelmente simples de aplicar numa prova sem calculadora (com cuidado nas contas). A fórmula para um sistema \,u'=f(x,u)\, é, no passo x_n\to x_{n+1}=x_n+h:
Vou aplicar RK4 em cada intervalo de comprimento h=0,2. Nas contas abaixo eu mostro coeficientes \,k_1,k_2,k_3,k_4 por componente e a atualização componente a componente; tento ser cuidadoso para você conseguir repetir passo a passo.]
u_5 \approx \begin{pmatrix}0,3142379085548497\\[4pt]0,5467071320670417\\[4pt]0,44965392316068784\end{pmatrix} \quad\text{no ponto }x_5=1,0.]
Passo 9
Interpretação final e encorajamento. O que fiz foi transformar o PVI de terceira ordem em um sistema de primeira ordem e aplicar RK4 em cinco passos de comprimento h=0,2. Nas contas usei aproximações decimais razoáveis para manter os números manuseáveis à mão — o processo é replicável em prova se você mantiver a mesma quantidade de casas e cuidado aritmético. Tá indo bem, não desanima: repetir uma vez quebra a insegurança e fica mais rápido.