7 Resolva numericamente o PVI de terceira ordem
y^{\prime \prime \prime}+2 y^{\prime \prime}-y^{\prime}-2 y, \quad y(0)=0, y^{\prime}(0)=0, y^{\prime \prime}(0)=1,
no intervalo [0,1], utilizando passos de tamanho h=0.2.

Passo 1

O enunciado pede que eu resolva numericamente o problema de valor inicial (PVI)
y^{\prime\prime\prime}+2y^{\prime\prime}-y^{\prime}-2y=0,
com condições iniciais
y(0)=0,\quad y'(0)=0,\quad y''(0)=1,
no intervalo [0,1] usando passo \,h=0,2.
Informações dadas (resumindo):
\;1. Equação diferencial ordinária (homogênea) de terceira ordem: \;y^{\prime\prime\prime}+2y^{\prime\prime}-y^{\prime}-2y=0.
\;2. Condições iniciais: \;y(0)=0,\;y'(0)=0,\;y''(0)=1.
\;3. Intervalo: [0,1] com passo \;h=0,2, portanto pontos \;x_0=0,\;x_1=0,2,\;x_2=0,4,\;x_3=0,6,\;x_4=0,8,\;x_5=1,0.

Passo 2

Transformação para sistema de primeira ordem (explicando passo a passo, bem mastigado).
Como a equação é de terceira ordem, eu defino variáveis de estado para reduzir a ordem:
\begin{aligned} u_1(x) &= y(x),\\\ u_2(x) &= y'(x),\\\ u_3(x) &= y''(x). \end{aligned}
Então as derivadas são
\begin{aligned} u_1' &= u_2,\\\ u_2' &= u_3,\\\ u_3' &= y^{\prime\prime\prime} = -2y^{\prime\prime}+y^{\prime}+2y. \end{aligned}
Substituindo u_i\), obtenho o sistema \[\boxed{\,\begin{cases} u_1' = u_2,\\[4pt] u_2' = u_3,\\[4pt] u_3' = -2u_3 + u_2 + 2u_1, \end{cases}\,}
com condição inicial
(u_1(0),u_2(0),u_3(0))=(0,0,1).
Isto significa que, numericamente, vou avançar o vetor u=(u_1,u_2,u_3)\] de \(x_n para x_{n+1}=x_n+h.]

Passo 3

Escolha do método e explicação didática do método Runge–Kutta de ordem 4 (RK4).
Eu uso o método RK4 porque é um método explícito de alta precisão (erro por passo \mathcal{O}(h^5), erro global \mathcal{O}(h^4)) e é razoavelmente simples de aplicar numa prova sem calculadora (com cuidado nas contas). A fórmula para um sistema \,u'=f(x,u)\, é, no passo x_n\to x_{n+1}=x_n+h:
\begin{aligned} k_1 &= f(x_n,u_n),\\[4pt] k_2 &= f\bigl(x_n+\tfrac{h}{2},\,u_n+\tfrac{h}{2}k_1\bigr),\\[4pt] k_3 &= f\bigl(x_n+\tfrac{h}{2},\,u_n+\tfrac{h}{2}k_2\bigr),\\[4pt] k_4 &= f\bigl(x_n+h,\,u_n+h\,k_3\bigr),\\[6pt] u_{n+1} &= u_n + \dfrac{h}{6}\bigl(k_1 + 2k_2 + 2k_3 + k_4\bigr). \end{aligned}
Aqui k_i são vetores em \mathbb{R}^3. No nosso caso a função f (que depende somente de u, pois o sistema é autônomo) é
f(u)=\begin{pmatrix} u_2\\[4pt] u_3\\[4pt] -2u_3+u_2+2u_1 \end{pmatrix}.
Vou aplicar RK4 em cada intervalo de comprimento h=0,2. Nas contas abaixo eu mostro coeficientes \,k_1,k_2,k_3,k_4 por componente e a atualização componente a componente; tento ser cuidadoso para você conseguir repetir passo a passo.]

Passo 4

Passo de x_0=0 para x_1=0,2. Condição inicial
u_0=(u_{1,0},u_{2,0},u_{3,0})=(0,0,1).
Calculo k's:
\begin{aligned} k_1 &= f(u_0)=\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\\[4pt]-2\end{pmatrix}. \end{aligned}
\begin{aligned} u_0+\tfrac{h}{2}k_1 &= \begin{pmatrix}0\\[4pt]0\\[4pt]1\end{pmatrix}+\!0,1\cdot\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\\[4pt]-2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0\\[4pt]0,1\\[4pt]0,8\end{pmatrix}, \end{aligned}
\begin{aligned} k_2 &= f\!\bigl(u_0+\tfrac{h}{2}k_1\bigr)=\begin{pmatrix}0,1\\[4pt]0,8\\[4pt]-1,5\end{pmatrix}. \end{aligned}
\begin{aligned} u_0+\tfrac{h}{2}k_2 &= \begin{pmatrix}0\\[4pt]0\\[4pt]1\end{pmatrix}+0,1\cdot\begin{pmatrix}0,1\\[4pt]0,8\\[4pt]-1,5\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0,01\\[4pt]0,08\\[4pt]0,85\end{pmatrix}, \end{aligned}
\begin{aligned} k_3 &= f\!\bigl(u_0+\tfrac{h}{2}k_2\bigr)=\begin{pmatrix}0,08\\[4pt]0,85\\[4pt]-1,6\end{pmatrix}. \end{aligned}
\begin{aligned} u_0+h\,k_3 &= \begin{pmatrix}0\\[4pt]0\\[4pt]1\end{pmatrix}+0,2\cdot\begin{pmatrix}0,08\\[4pt]0,85\\[4pt]-1,6\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0,016\\[4pt]0,17\\[4pt]0,68\end{pmatrix}, \end{aligned}
\begin{aligned} k_4 &= f\!\bigl(u_0+h k_3\bigr)=\begin{pmatrix}0,17\\[4pt]0,68\\[4pt]-1,158\end{pmatrix}. \end{aligned}
Agora atualizo com RK4:
u_1 = u_0 + \frac{h}{6}\bigl(k_1+2k_2+2k_3+k_4\bigr).
Fazendo as contas componente a componente (mostradas com arredondamento prático):
\begin{aligned} u_{1,1} &= 0 + \tfrac{0,2}{6}\bigl(0 +2\cdot0,1 +2\cdot0,08 +0,17\bigr)\approx 0,0176666667,\\[4pt] u_{2,1} &= 0 + \tfrac{0,2}{6}\bigl(1 +2\cdot0,8 +2\cdot0,85 +0,68\bigr)\approx 0,1660000000,\\[4pt] u_{3,1} &= 1 + \tfrac{0,2}{6}\bigl(-2 +2\cdot(-1,5) +2\cdot(-1,6) +(-1,158)\bigr)\approx 0,6880666667. \end{aligned}
Resultado no ponto x_1=0,2:
u_1\approx\bigl(0,0176666667,\;0,166,\;0,6880666667\bigr).]

Passo 5

Passo de x_1=0,2 para x_2=0,4. Vou repetir o mesmo procedimento (apresentando os k's e a atualização).
Estado inicial deste passo:
u_1\approx\begin{pmatrix}0,0176666667\\[4pt]0,166\\[4pt]0,6880666667\end{pmatrix}.
Cálculos (mostrando valores intermediários):
\begin{aligned} k_1 &= f(u_1)=\begin{pmatrix}0,166\\[4pt]0,6880666667\\[4pt]-1,1748\end{pmatrix}, \qquad u_1+\tfrac{h}{2}k_1=\begin{pmatrix}0,0342666667\\[4pt]0,2348066667\\[4pt]0,5705866667\end{pmatrix}, \\[3pt] k_2 &= f\!\bigl(u_1+\tfrac{h}{2}k_1\bigr)=\begin{pmatrix}0,2348066667\\[4pt]0,5705866667\\[4pt]-0,8378333334\end{pmatrix}, \\[3pt] u_1+\tfrac{h}{2}k_2 &= \begin{pmatrix}0,0411473334\\[4pt]0,2230586667\\[4pt]0,6042833334\end{pmatrix}, \\[3pt] k_3 &= f\!\bigl(u_1+\tfrac{h}{2}k_2\bigr)=\begin{pmatrix}0,2230586667\\[4pt]0,6042833334\\[4pt]-0,9032133332\end{pmatrix}, \\[3pt] u_1+h k_3 &= \begin{pmatrix}0,0622784000\\[4pt]0,2868566667\\[4pt]0,5074240001\end{pmatrix}, \\[3pt] k_4 &= f\!\bigl(u_1+h k_3\bigr)=\begin{pmatrix}0,2868566667\\[4pt]0,5074240001\\[4pt]-0,6034345334\end{pmatrix}. \end{aligned}
Atualização RK4:
u_2\approx\begin{pmatrix}0,06328624448\\[4pt]0,28417435556\\[4pt]0,51272240448\end{pmatrix} \quad\text{no ponto }x_2=0,4.]

Passo 6

Passo de x_2=0,4 para x_3=0,6.
Estado inicial:
u_2\approx\begin{pmatrix}0,06328624448\\[4pt]0,28417435556\\[4pt]0,51272240448\end{pmatrix}.
Cálculos (resumidos com valores numéricos):
\begin{aligned} k_1 &= \begin{pmatrix}0,28417435556\\[4pt]0,51272240448\\[4pt]-0,61469796444\end{pmatrix}, \quad u_2+\tfrac{h}{2}k_1=\begin{pmatrix}0,09170368004\\[4pt]0,335446595\\[4pt]0,45125260804\end{pmatrix}, \\[3pt] k_2 &= \begin{pmatrix}0,335446595\\[4pt]0,45125260804\\[4pt]-0,383651261\end{pmatrix}, \quad u_2+\tfrac{h}{2}k_2=\begin{pmatrix}0,09683090398\\[4pt]0,32929961636\\[4pt]0,47435727838\end{pmatrix}, \\[3pt] k_3 &= \begin{pmatrix}0,32929961636\\[4pt]0,47435727838\\[4pt]-0,42575313244\end{pmatrix}, \quad u_2+h k_3=\begin{pmatrix}0,12914616775\\[4pt]0,37904581124\\[4pt]0,42757177799\end{pmatrix}, \\[3pt] k_4 &= \begin{pmatrix}0,37904581124\\[4pt]0,42757177799\\[4pt]-0,21780540924\end{pmatrix}. \end{aligned}
Atualização RK4:
u_3\approx\begin{pmatrix}0,1297099974641\\[4pt]0,37722482073682\\[4pt]0,43101199912811\end{pmatrix} \quad\text{no ponto }x_3=0,6.]

Passo 7

Passo de x_3=0,6 para x_4=0,8.
Estado inicial:
u_3\approx\begin{pmatrix}0,1297099974641\\[4pt]0,37722482073682\\[4pt]0,43101199912811\end{pmatrix}.
Cálculos (resumidos):
\begin{aligned} k_1 &= \begin{pmatrix}0,37722482073682\\[4pt]0,43101199912811\\[4pt]-0,22537918259119\end{pmatrix}, \\[3pt] k_2 &= \begin{pmatrix}0,42032602072863\\[4pt]0,40847408086899\\[4pt]-0,06175718193378\end{pmatrix}, \\[3pt] k_3 &= \begin{pmatrix}0,41807222882372\\[4pt]0,42483628093473\\[4pt]-0,08811513397181\end{pmatrix}, \\[3pt] k_4 &= \begin{pmatrix}0,46219207692377\\[4pt]0,41338897233374\\[4pt]0,06206301871396\end{pmatrix}. \end{aligned}
Atualização RK4:
u_4\approx\begin{pmatrix}0,21358377735627615\\[4pt]0,46092554390582\\[4pt]0,4155766392384929\end{pmatrix} \quad\text{no ponto }x_4=0,8.]

Passo 8

Passo final de x_4=0,8 para x_5=1,0.
Estado inicial:
u_4\approx\begin{pmatrix}0,21358377735627615\\[4pt]0,46092554390582\\[4pt]0,4155766392384929\end{pmatrix}.
Cálculos:
\begin{aligned} k_1 &= \begin{pmatrix}0,46092554390582\\[4pt]0,4155766392384929\\[4pt]0,0569398201413865\end{pmatrix}, \\[3pt] k_2 &= \begin{pmatrix}0,5024832078296693\\[4pt]0,42127062125263155\\[4pt]0,1792946288181225\end{pmatrix}, \\[3pt] k_3 &= \begin{pmatrix}0,5030526060310831\\[4pt]0,43350610212030515\\[4pt]0,163704598068959\end{pmatrix}, \\[3pt] k_4 &= \begin{pmatrix}0,5476267643298819\\[4pt]0,4483175588522847\\[4pt]0,279380243750298\end{pmatrix}. \end{aligned}
Atualização RK4 final:
u_5 \approx \begin{pmatrix}0,3142379085548497\\[4pt]0,5467071320670417\\[4pt]0,44965392316068784\end{pmatrix} \quad\text{no ponto }x_5=1,0.]

Passo 9

Interpretação final e encorajamento. O que fiz foi transformar o PVI de terceira ordem em um sistema de primeira ordem e aplicar RK4 em cinco passos de comprimento h=0,2. Nas contas usei aproximações decimais razoáveis para manter os números manuseáveis à mão — o processo é replicável em prova se você mantiver a mesma quantidade de casas e cuidado aritmético. Tá indo bem, não desanima: repetir uma vez quebra a insegurança e fica mais rápido.

Resposta

x=0{,}0:\;y=0,\;y'=0,\;y''=1
x=0{,}2:\;y\approx0{,}0176666667,\;y'\approx0{,}1660000000,\;y''\approx0{,}6880666667
x=0{,}4:\;y\approx0{,}06328624448,\;y'\approx0{,}28417435556,\;y''\approx0{,}51272240448
x=0{,}6:\;y\approx0{,}1297099974641,\;y'\approx0{,}37722482073682,\;y''\approx0{,}43101199912811
x=0{,}8:\;y\approx0{,}21358377735627615,\;y'\approx0{,}46092554390582,\;y''\approx0{,}4155766392384929
x=1{,}0:\;y\approx0{,}3142379085548497,\;y'\approx0{,}5467071320670417,\;y''\approx0{,}44965392316068784

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