6 Seja o PVI de segunda ordem
Transforme-o em um sistema de primeira ordem e obtenha uma aproximação para
utilizando um procedimento numérico adequado. Utilize aproximações com 5 pontos.
Passo 1
O enunciado dá um problema de valor inicial (PVI) de segunda ordem:
e pede uma aproximação de
usando “aproximações com 5 pontos”.
Informações relevantes que temos:
Informações relevantes que temos:
- A equação diferencial é de segunda ordem e linear não-homogênea:
. - Condições iniciais em
: e . - “5 pontos” significa os pontos igualmente espaçados
(ou seja ).
A partir daqui vamos transformar o PVI em um sistema de primeira ordem e aplicar um método numérico apropriado para avançar nesses 5 pontos até.
Passo 2
Transformação para sistema de primeira ordem (sempre o primeiro passo prático).
Defino:
Defino:
Então temos o sistema de primeira ordem:
com condições iniciais
Aqui
representa a solução
que queremos e
representa
. A equação para
veio substituindo
e
na equação original.
Passo 3
Escolha do método numérico adequado (expliquei o porquê).
Seguindo o algoritmo sugerido: não foi exigido um método específico; para resolver um sistema de primeira ordem e obter boa precisão em apenas 4 passos (5 pontos) é razoável usar o método de Runge–Kutta de ordem 4 (RK4).
Por quê RK4?
Seguindo o algoritmo sugerido: não foi exigido um método específico; para resolver um sistema de primeira ordem e obter boa precisão em apenas 4 passos (5 pontos) é razoável usar o método de Runge–Kutta de ordem 4 (RK4).
Por quê RK4?
- RK4 é um método explícito de ordem 4, com boa precisão para poucos passos.
- É relativamente simples de aplicar passo a passo e costuma ser pedido em provas de métodos numéricos.
- Métodos mais simples (Euler) seriam imprecisos; métodos implícitos exigiriam resolver sistemas a cada passo (mais trabalhoso). Então RK4 é um bom compromisso.
Vou aplicar RK4 ao sistema vetorial
com passo
.
Passo 4
Fórmulas do RK4 para sistema (aula rápida):
Se e
é a aproximação em
, então
Se
e a atualização é
No nosso caso
. Vou aplicar isso passo a passo para
(quatro passos) até
.
Passo 5
Configuração inicial:
Passo
(de
a
).
Calculo de
:
Calculo de
em
com
:
logo
Calculo de
em
com
:
logo
Calculo de
em
com
:
logo
Atualização
:
Passo 6
Passo
(de
a
).
Ponto inicial deste passo:
Calculo de
:
Calculo de
em
:
Calculo de
em
:
Calculo de
em
:
Atualização para
:
Passo 7
Passo
(de
a
).
Ponto inicial:
Calculo de
:
Calculo de
em
:
Calculo de
em
:
Calculo de
em
:
Atualização para
:
Passo 8
Passo
(de
a
) — último passo até
.
Ponto inicial:
Calculo de
:
Calculo de
em
:
Calculo de
em
:
Calculo de
em
:
Atualização final para
em
: