6 Seja o PVI de segunda ordem
y^{\prime \prime}=4 y^{\prime}-3 y-x, \quad y(0)=0.445, \quad y^{\prime}(0)=2.333 .
Transforme-o em um sistema de primeira ordem e obtenha uma aproximação para y(1) utilizando um procedimento numérico adequado. Utilize aproximações com 5 pontos.

Passo 1

O enunciado dá um problema de valor inicial (PVI) de segunda ordem:
y^{\prime\prime}=4y^{\prime}-3y-x,\qquad y(0)=0,445,\qquad y^{\prime}(0)=2,333,
e pede uma aproximação de y(1) usando “aproximações com 5 pontos”.
Informações relevantes que temos:
  • A equação diferencial é de segunda ordem e linear não-homogênea: y^{\prime\prime}=4y^{\prime}-3y-x.
  • Condições iniciais em x=0: y(0)=0,445 e y'(0)=2,333.
  • “5 pontos” significa os pontos igualmente espaçados \;x_0=0,\;x_1=0,25,\;x_2=0,50,\;x_3=0,75,\;x_4=1 (ou seja h=1/4=0,25).
    A partir daqui vamos transformar o PVI em um sistema de primeira ordem e aplicar um método numérico apropriado para avançar nesses 5 pontos até x=1.

Passo 2

Transformação para sistema de primeira ordem (sempre o primeiro passo prático).
Defino:
\begin{aligned} y_1(x)&=y(x),\\\ y_2(x)&=y'(x). \end{aligned}
Então temos o sistema de primeira ordem:
\begin{aligned} y_1'&=y_2,\\\ y_2'&=4y_2-3y_1-x, \end{aligned}
com condições iniciais
y_1(0)=0,445,\qquad y_2(0)=2,333.
Aqui y_1 representa a solução y que queremos e y_2 representa y'. A equação para y_2' veio substituindo y e y' na equação original.

Passo 3

Escolha do método numérico adequado (expliquei o porquê).
Seguindo o algoritmo sugerido: não foi exigido um método específico; para resolver um sistema de primeira ordem e obter boa precisão em apenas 4 passos (5 pontos) é razoável usar o método de Runge–Kutta de ordem 4 (RK4).
Por quê RK4?
  • RK4 é um método explícito de ordem 4, com boa precisão para poucos passos.
  • É relativamente simples de aplicar passo a passo e costuma ser pedido em provas de métodos numéricos.
  • Métodos mais simples (Euler) seriam imprecisos; métodos implícitos exigiriam resolver sistemas a cada passo (mais trabalhoso). Então RK4 é um bom compromisso.
Vou aplicar RK4 ao sistema vetorial \mathbf{y}=(y_1,y_2)^T com passo h=0,25.

Passo 4

Fórmulas do RK4 para sistema (aula rápida):
Se \mathbf{y}'=\mathbf{f}(x,\mathbf{y}) e \mathbf{y}_n é a aproximação em x_n, então
\begin{aligned} \mathbf{k}_1&=\mathbf{f}(x_n,\mathbf{y}_n),\\\ \mathbf{k}_2&=\mathbf{f}\big(x_n+\tfrac{h}{2},\,\mathbf{y}_n+\tfrac{h}{2}\mathbf{k}_1\big),\\\ \mathbf{k}_3&=\mathbf{f}\big(x_n+\tfrac{h}{2},\,\mathbf{y}_n+\tfrac{h}{2}\mathbf{k}_2\big),\\\ \mathbf{k}_4&=\mathbf{f}\big(x_n+h,\,\mathbf{y}_n+h\mathbf{k}_3\big), \end{aligned}
e a atualização é
\mathbf{y}_{n+1}=\mathbf{y}_n+\frac{h}{6}\big(\mathbf{k}_1+2\mathbf{k}_2+2\mathbf{k}_3+\mathbf{k}_4\big).
No nosso caso \mathbf{f}(x,(y_1,y_2))=(y_2,\;4y_2-3y_1-x)^T. Vou aplicar isso passo a passo para n=0,1,2,3 (quatro passos) até x_4=1.

Passo 5

Configuração inicial:
x_0=0,\qquad \mathbf{y}_0=(y_{1,0},y_{2,0})=(0,445,\;2,333),\qquad h=0,25.
Passo 0\to1 (de x_0=0 a x_1=0,25).
Calculo de \mathbf{k}_1:
\begin{aligned} k_{1,1}&=y_{2,0}=2,333,\\\ k_{1,2}&=4y_{2,0}-3y_{1,0}-x_0=4\cdot2,333-3\cdot0,445-0=7,997. \end{aligned}
Calculo de \mathbf{k}_2 em x=0,125 com \mathbf{y}_0+\tfrac{h}{2}\mathbf{k}_1:
\begin{aligned} y_{1,\text{mid}}&=0,445+0,125\cdot2,333=0,736625,\\\ y_{2,\text{mid}}&=2,333+0,125\cdot7,997=3,332625, \end{aligned}
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\begin{aligned} k_{2,1}&=3,332625,\\\ k_{2,2}&=4\cdot3,332625-3\cdot0,736625-0,125=10,995625. \end{aligned}
Calculo de \mathbf{k}_3 em x=0,125 com \mathbf{y}_0+\tfrac{h}{2}\mathbf{k}_2:
\begin{aligned} y_{1,\text{mid2}}&=0,445+0,125\cdot3,332625=0,861578125,\\\ y_{2,\text{mid2}}&=2,333+0,125\cdot10,995625=3,707453125, \end{aligned}
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\begin{aligned} k_{3,1}&=3,707453125,\\\ k_{3,2}&=4\cdot3,707453125-3\cdot0,861578125-0,125=12,120078125. \end{aligned}
Calculo de \mathbf{k}_4 em x=0,25 com \mathbf{y}_0+h\mathbf{k}_3:
\begin{aligned} y_{1,\text{end}}&=0,445+0,25\cdot3,707453125=1,37186328125,\\\ y_{2,\text{end}}&=2,333+0,25\cdot12,120078125=5,36301953125, \end{aligned}
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\begin{aligned} k_{4,1}&=5,36301953125,\\\ k_{4,2}&=4\cdot5,36301953125-3\cdot1,37186328125-0,25=17,08648828125. \end{aligned}
Atualização \mathbf{y}_1=\mathbf{y}_0+\tfrac{h}{6}(\mathbf{k}_1+2\mathbf{k}_2+2\mathbf{k}_3+\mathbf{k}_4):
\begin{aligned} y_{1,1}&=0,445+\frac{0,25}{6}\big(2,333+2\cdot3,332625+2\cdot3,707453125+5,36301953125\big)\\\ &=1,3523406575520833,\\\ y_{2,1}&=2,333+\frac{0,25}{6}\big(7,997+2\cdot10,995625+2\cdot12,120078125+17,08648828125\big)\\\ &=5,304453938802093. \end{aligned}

Passo 6

Passo 1\to2 (de x_1=0,25 a x_2=0,50).
Ponto inicial deste passo:
x_1=0,25,\qquad \mathbf{y}_1=(1,3523406575520833,\;5,304453938802093).
Calculo de \mathbf{k}_1:
\begin{aligned} k_{1,1}&=5,304453938802093,\\\ k_{1,2}&=4\cdot5,304453938802093-3\cdot1,3523406575520833-0,25=16,910793782552122. \end{aligned}
Calculo de \mathbf{k}_2 em x=0,375:
\begin{aligned} y_{1,\text{mid}}&=1,3523406575520833+0,125\cdot5,304453938802093=2,015397399902345,\\\ y_{2,\text{mid}}&=5,304453938802093+0,125\cdot16,910793782552122=7,4183031616211095, \end{aligned}
\begin{aligned} k_{2,1}&=7,4183031616211095,\\\ k_{2,2}&=4\cdot7,4183031616211095-3\cdot2,015397399902345-0,375=23,252020446777403. \end{aligned}
Calculo de \mathbf{k}_3 em x=0,375:
\begin{aligned} y_{1,\text{mid2}}&=1,3523406575520833+0,125\cdot7,4183031616211095=2,279628552754722,\\\ y_{2,\text{mid2}}&=5,304453938802093+0,125\cdot23,252020446777403=8,210956494649268, \end{aligned}
\begin{aligned} k_{3,1}&=8,210956494649268,\\\ k_{3,2}&=4\cdot8,210956494649268-3\cdot2,279628552754722-0,375=25,629940320332902. \end{aligned}
Calculo de \mathbf{k}_4 em x=0,5:
\begin{aligned} y_{1,\text{end}}&=1,3523406575520833+0,25\cdot8,210956494649268=3,4050797812144004,\\\ y_{2,\text{end}}&=5,304453938802093+0,25\cdot25,629940320332902=11,711939018885319, \end{aligned}
\begin{aligned} k_{4,1}&=11,711939018885319,\\\ k_{4,2}&=4\cdot11,711939018885319-3\cdot3,4050797812144004-0,5=36,132516731898074. \end{aligned}
Atualização para \mathbf{y}_2:
\begin{aligned} y_{1,2}&=1,3523406575520833+\frac{0,25}{6}\big(5,304453938802093+2\cdot7,4183031616211095+2\cdot8,210956494649268+11,711939018885319\big)\\\ &=3,3637953363115893,\\\ y_{2,2}&=5,304453938802093+\frac{0,25}{6}\big(16,910793782552122+2\cdot23,252020446777403+2\cdot25,629940320332902+36,132516731898074\big)\\\ &=11,58808860749671. \end{aligned}

Passo 7

Passo 2\to3 (de x_2=0,50 a x_3=0,75).
Ponto inicial:
x_2=0,5,\qquad \mathbf{y}_2=(3,3637953363115893,\;11,58808860749671).
Calculo de \mathbf{k}_1:
\begin{aligned} k_{1,1}&=11,58808860749671,\\\ k_{1,2}&=4\cdot11,58808860749671-3\cdot3,3637953363115893-0,5=35,76096842105207. \end{aligned}
Calculo de \mathbf{k}_2 em x=0,625:
\begin{aligned} y_{1,\text{mid}}&=3,3637953363115893+0,125\cdot11,58808860749671=4,812306412248678,\\\ y_{2,\text{mid}}&=11,58808860749671+0,125\cdot35,76096842105207=16,05820966012822, \end{aligned}
\begin{aligned} k_{2,1}&=16,05820966012822,\\\ k_{2,2}&=4\cdot16,05820966012822-3\cdot4,812306412248678-0,625=49,170919403766846. \end{aligned}
Calculo de \mathbf{k}_3 em x=0,625:
\begin{aligned} y_{1,\text{mid2}}&=3,3637953363115893+0,125\cdot16,05820966012822=5,371071543827617,\\\ y_{2,\text{mid2}}&=11,58808860749671+0,125\cdot49,170919403766846=17,734453532967566, \end{aligned}
\begin{aligned} k_{3,1}&=17,734453532967566,\\\ k_{3,2}&=4\cdot17,734453532967566-3\cdot5,371071543827617-0,625=54,19959950038742. \end{aligned}
Calculo de \mathbf{k}_4 em x=0,75:
\begin{aligned} y_{1,\text{end}}&=3,3637953363115893+0,25\cdot17,734453532967566=7,79740871955348,\\\ y_{2,\text{end}}&=11,58808860749671+0,25\cdot54,19959950038742=25,137988482593567, \end{aligned}
\begin{aligned} k_{4,1}&=25,137988482593567,\\\ k_{4,2}&=4\cdot25,137988482593567-3\cdot7,79740871955348-0,75=76,40972777171383. \end{aligned}
Atualização para \mathbf{y}_3:
\begin{aligned} y_{1,3}&=3,3637953363115893+\frac{0,25}{6}\big(11,58808860749671+2\cdot16,05820966012822+2\cdot17,734453532967566+25,137988482593567\big)\\\ &=7,710062147823333,\\\ y_{2,3}&=11,58808860749671+\frac{0,25}{6}\big(35,76096842105207+2\cdot49,170919403766846+2\cdot54,19959950038742+76,40972777171383\big)\\\ &=24,875244190874812. \end{aligned}

Passo 8

Passo 3\to4 (de x_3=0,75 a x_4=1,00) — último passo até x=1.
Ponto inicial:
x_3=0,75,\qquad \mathbf{y}_3=(7,710062147823333,\;24,875244190874812).
Calculo de \mathbf{k}_1:
\begin{aligned} k_{1,1}&=24,875244190874812,\\\ k_{1,2}&=4\cdot24,875244190874812-3\cdot7,710062147823333-0,75=75,62079032002925. \end{aligned}
Calculo de \mathbf{k}_2 em x=0,875:
\begin{aligned} y_{1,\text{mid}}&=7,710062147823333+0,125\cdot24,875244190874812=10,819467671682685,\\\ y_{2,\text{mid}}&=24,875244190874812+0,125\cdot75,62079032002925=34,32784298087847, \end{aligned}
\begin{aligned} k_{2,1}&=34,32784298087847,\\\ k_{2,2}&=4\cdot34,32784298087847-3\cdot10,819467671682685-0,875=103,97796890846584. \end{aligned}
Calculo de \mathbf{k}_3 em x=0,875:
\begin{aligned} y_{1,\text{mid2}}&=7,710062147823333+0,125\cdot34,32784298087847=12,001042520433142,\\\ y_{2,\text{mid2}}&=24,875244190874812+0,125\cdot103,97796890846584=37,872490304433044, \end{aligned}
\begin{aligned} k_{3,1}&=37,872490304433044,\\\ k_{3,2}&=4\cdot37,872490304433044-3\cdot12,001042520433142-0,875=114,61183365643275. \end{aligned}
Calculo de \mathbf{k}_4 em x=1,00:
\begin{aligned} y_{1,\text{end}}&=7,710062147823333+0,25\cdot37,872490304433044=17,178184723931594,\\\ y_{2,\text{end}}&=24,875244190874812+0,25\cdot114,61183365643275=53,528202604983, \end{aligned}
\begin{aligned} k_{4,1}&=53,528202604983,\\\ k_{4,2}&=4\cdot53,528202604983-3\cdot17,178184723931594-1,00=161,57825624813723. \end{aligned}
Atualização final para \mathbf{y}_4 em x_4=1,00:
\begin{aligned} y_{1,4}&=7,710062147823333+\frac{0,25}{6}\big(24,875244190874812+2\cdot34,32784298087847+2\cdot37,872490304433044+53,528202604983\big)\\\ &=16,993566871426702,\\\ y_{2,4}&=24,875244190874812+\frac{0,25}{6}\big(75,62079032002925+2\cdot103,97796890846584+2\cdot114,61183365643275+161,57825624813723\big)\\\ &=52,97435467828997. \end{aligned}

Resposta

y(1)\approx 16,993566871426702

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