5 Determine aproximadamente y(0.6) no problema
y^{\prime}=x y+1, \quad y(0)=1,
considerando 4 pontos na aproximação.

Passo 1

O enunciado pede: aproximar y(0,6) para a EDO
y' = x\,y + 1,
com condição inicial
y(0)=1,
“considerando 4 pontos na aproximação”. Informações dadas e o que devemos entregar:
  • A equação diferencial é y' = x y + 1.
  • Condição inicial é y(0)=1.
  • Intervalo de interesse é de x=0 até x=0,6 (pois queremos y(0,6)).
  • Devemos usar 4 pontos na aproximação (ou seja, particionar o intervalo [0,0,6] em 3 subintervalos iguais, obtendo 4 pontos).

Passo 2

Escolha do método: o enunciado não especifica um método numérico. Vou usar o método de Euler explícito (método mais básico e indicado quando o enunciado só pede “considerando N pontos” sem especificar método). Justificativa simples: é o método numérico mais elementar para EDOs, é fácil de aplicar e de entender — ideal para uma prova quando não há indicação de método mais sofisticado.

Passo 3

Explicando o método de Euler (a “aula” rápida):
  • Se temos a EDO y' = f(x,y) e um ponto conhecido (x_n,y_n), o método de Euler aproxima y em x_{n+1}=x_n+h por
y_{n+1} = y_n + h\,f(x_n,y_n).
  • Aqui h é o passo (comprimento de cada subintervalo), f(x,y) é a função que define a derivada, y_n é a aproximação de y(x_n).
  • Interpretação intuitiva: usamos a inclinação conhecida f(x_n,y_n) no ponto atual para “avançar” uma distância h e obter a nova aproximação.
  • Erro: o método de Euler tem erro global da ordem O(h) (ou seja, reduzir h pela metade tende a reduzir o erro aproximadamente pela metade).

Passo 4

Definindo a malha (os pontos): temos que usar 4 pontos no intervalo [0,0,6]. Assim o número de subintervalos é 3 e o passo é
h = \frac{0,6-0}{3} = 0,2.
Os pontos (abscissas) serão
x_0=0,\quad x_1=0,2,\quad x_2=0,4,\quad x_3=0,6.
A aproximação desejada é y(0,6)\approx y_3.

Passo 5

Identificando f(x,y) para a nossa EDO:
f(x,y)=x\,y+1.
Condição inicial: y_0 = y(0)=1.

Passo 6

Passo 1 do Euler: calcular y_1.
f(x_0,y_0)=f(0,1)=0\cdot 1 + 1 = 1.
Aplicando a fórmula de Euler:
y_1 = y_0 + h\,f(x_0,y_0) = 1 + 0,2\cdot 1 = 1 + 0,2 = 1,2.

Passo 7

Passo 2 do Euler: calcular y_2.
Primeiro a inclinação em (x_1,y_1)=(0,2,\,1,2):
f(x_1,y_1)=f(0,2,\,1,2)=0,2\cdot 1,2 + 1 = 0,24 + 1 = 1,24.
Agora a atualização:
y_2 = y_1 + h\,f(x_1,y_1) = 1,2 + 0,2\cdot 1,24 = 1,2 + 0,248 = 1,448.

Passo 8

Passo 3 do Euler: calcular y_3 (aproximação em x_3=0,6).
Inclinação em (x_2,y_2)=(0,4,\,1,448):
f(x_2,y_2)=f(0,4,\,1,448)=0,4\cdot 1,448 + 1 = 0,5792 + 1 = 1,5792.
Atualização final:
y_3 = y_2 + h\,f(x_2,y_2) = 1,448 + 0,2\cdot 1,5792 = 1,448 + 0,31584 = 1,76384.

Passo 9

Interpretação final e comentário: com o método de Euler explícito e 4 pontos (passo h=0,2) obtivemos a aproximação
y(0,6)\approx 1,76384.
Lembrete amigável: Euler é simples mas não muito preciso; se você quiser uma aproximação melhor na prova, use passo menor ou métodos como Euler melhorado (Heun) ou Runge–Kutta de ordem 4, se isso for permitido.

Resposta

1,76384

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