5 Determine aproximadamente
no problema
considerando 4 pontos na aproximação.
Passo 1
O enunciado pede: aproximar
para a EDO
com condição inicial
“considerando 4 pontos na aproximação”. Informações dadas e o que devemos entregar:
- A equação diferencial é
. - Condição inicial é
. - Intervalo de interesse é de
até (pois queremos ). - Devemos usar 4 pontos na aproximação (ou seja, particionar o intervalo
em 3 subintervalos iguais, obtendo 4 pontos).
Passo 2
Escolha do método: o enunciado não especifica um método numérico. Vou usar o método de Euler explícito (método mais básico e indicado quando o enunciado só pede “considerando N pontos” sem especificar método). Justificativa simples: é o método numérico mais elementar para EDOs, é fácil de aplicar e de entender — ideal para uma prova quando não há indicação de método mais sofisticado.
Passo 3
Explicando o método de Euler (a “aula” rápida):
- Se temos a EDO
e um ponto conhecido , o método de Euler aproxima em por
- Aqui
é o passo (comprimento de cada subintervalo), é a função que define a derivada, é a aproximação de . - Interpretação intuitiva: usamos a inclinação conhecida
no ponto atual para “avançar” uma distância e obter a nova aproximação. - Erro: o método de Euler tem erro global da ordem
(ou seja, reduzir pela metade tende a reduzir o erro aproximadamente pela metade).
Passo 4
Definindo a malha (os pontos): temos que usar 4 pontos no intervalo
. Assim o número de subintervalos é
e o passo é
Os pontos (abscissas) serão
A aproximação desejada é
.
Passo 5
Identificando
para a nossa EDO:
Condição inicial:
.
Passo 6
Passo 1 do Euler: calcular
.
Aplicando a fórmula de Euler:
Passo 7
Passo 2 do Euler: calcular
.
Primeiro a inclinação em :
Primeiro a inclinação em
Agora a atualização:
Passo 8
Passo 3 do Euler: calcular
(aproximação em
).
Inclinação em :
Inclinação em
Atualização final:
Passo 9
Interpretação final e comentário: com o método de Euler explícito e 4 pontos (passo
) obtivemos a aproximação
Lembrete amigável: Euler é simples mas não muito preciso; se você quiser uma aproximação melhor na prova, use passo menor ou métodos como Euler melhorado (Heun) ou Runge–Kutta de ordem 4, se isso for permitido.