Verifique se é homogênea a equação
e resolva-a, em caso afirmativo.
Passo 1
O enunciado apresenta a equação diferencial
e pede para verificar se ela é homogênea e, em caso afirmativo, resolvê-la. Vamos usar o fato de que uma equação
é homogênea se
e
são funções homogêneas do mesmo grau, e então aplicar a substituição padrão
Passo 2
Identificamos
Cada termo de
tem grau 4 em
e
também é homogênea de grau 4, pois
tem soma de expoentes igual a
. Logo, a equação é homogênea de grau 4.
Passo 3
Fazendo a troca
e
, temos
Substituindo na equação original:
Passo 4
Agrupando termos em
e
e dividindo por
(que é não nulo fora da solução trivial
), obtemos
Como
, a equação fica
Isolando variáveis:
Passo 5
Agora integramos cada termo:
A primeira integral é
Para a segunda, use
t = u^2+1 ,
dt = 2u,du , daí
Portanto a relação integrada é
com
C constante de integração.
Passo 6
Voltando a
u = yx , temos
Logo a solução implícita fica
Resposta
onde
C é constante de integração.