Verifique se é homogênea a equação (x^4+y^4) d x+2 x^3 y d y=0 e resolva-a, em caso afirmativo.

Passo 1

O enunciado apresenta a equação diferencial
l(x^4+y^4r),dx + 2x^3y,dy = 0
e pede para verificar se ela é homogênea e, em caso afirmativo, resolvê-la. Vamos usar o fato de que uma equação
M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0
é homogênea se M e N são funções homogêneas do mesmo grau, e então aplicar a substituição padrão
y = u,x, dy = u,dx + x,du

Passo 2

Identificamos
M(x,y) = x^4 + y^4, N(x,y) = 2x^3y
Cada termo de M tem grau 4 em (x,y) e N também é homogênea de grau 4, pois 2x^3y tem soma de expoentes igual a 3+1=4. Logo, a equação é homogênea de grau 4.

Passo 3

Fazendo a troca y = u,x e dy = u,dx + x,du, temos
x^4+y^4 = x^4+u^4x^4 = x^4l(1+u^4r),
2x^3y,dy = 2x^3(u,x)l(u,dx + x,dur) =2x^4u^2,dx + 2x^5u,du
Substituindo na equação original:
x^4l(1+u^4r),dx + l(2x^4u^2,dx + 2x^5u,dur)=0

Passo 4

Agrupando termos em dx e du e dividindo por x^4 (que é não nulo fora da solução trivial x=0), obtemos
l(1+u^4+2u^2r),dx + 2x,u,du = 0
Como 1+u^4+2u^2=(u^2+1)^2, a equação fica
(u^2+1)^2,dx + 2x,u,du = 0 Longrightarrow dx + 2x,u(u^2+1)^2,du = 0
Isolando variáveis:
dxx + 2u(u^2+1)^2,du = 0

Passo 5

Agora integramos cada termo:
integral dxx + integral 2u(u^2+1)^2,du = 0
A primeira integral é
integral dxx = lnl|xr|
Para a segunda, use t = u^2+1, dt = 2u,du, daí
integral 2u(u^2+1)^2,du = integral dtt^2 = -1t = -1u^2+1
Portanto a relação integrada é
lnl|xr| - 1u^2+1 = C,
com C constante de integração.

Passo 6

Voltando a u = yx, temos
1u^2+1 = 1y^2x^2+1 = x^2x^2+y^2
Logo a solução implícita fica
lnl|xr| - x^2x^2+y^2 = C

Resposta

lnl|xr| ;-;x^2x^2+y^2 = C,
onde C é constante de integração.

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