Um sismógrafo registra
. Sabendo que a massa oscila indefinidamente após ser solta (sem força externa), o que podemos afirmar sobre o valor de
?
Passo 1
O enunciado dá a equação do sismógrafo
Diz também que a massa é solta e “oscila indefinidamente (sem força externa)”. Com isso temos duas informações importantes extraídas do enunciado:
- “sem força externa” significa que devemos estudar a equação homogênea, isto é
. - “oscila indefinidamente” quer dizer que, depois de solta, a massa continua a oscilar para sempre. Vou interpretar isso como oscilações permanentes sem que a amplitude vá para zero; isto é, oscilações persistentes e não amortecidas (se a amplitude crescesse sem limite isso seria instabilidade, não a sensação usual de “oscilar indefinidamente”).
Passo 2
Escrevendo a equação homogênea:
A solução geral é encontrada resolvendo a equação característica associada:
As raízes são
Agora vamos ver os três tipos de comportamento que essas raízes geram e o que cada um significa fisicamente.
Passo 3
Casos dos coeficientes e suas soluções:
- Se
(ou seja ) as raízes são reais distintas. A solução é combinação de exponenciais reais e não há oscilação (comportamento superamortecido). - Se
(ou seja ) as raízes são reais iguais (criticamente amortecido). Também não há oscilação oscilatória (apenas retorno sem oscilar). - Se
(ou seja ) as raízes são complexas conjugadas. Escrevendo com , as raízes ficam
e a solução tem a forma oscilatória
Aqui o fator
controla a amplitude das oscilações: se
a amplitude decai exponencialmente (amortecimento), se
a amplitude cresce exponencialmente (instabilidade / amortecimento negativo), e se
a amplitude é constante (oscilação harmônica livre).
Passo 4
Aplicando isso à condição do enunciado: “oscila indefinidamente” no sentido de oscilações persistentes com amplitude não decrescente exige que o fator exponencial não cause decaimento. Para que
não decaia nem cresça é necessário que o expoente seja zero, ou seja
Observação: se
também haveria oscilações (raízes complexas) mas com amplitude que cresce exponencialmente — isso é instável e fisicamente corresponde a ganho de energia (amortecimento negativo), não ao caso típico de “oscilar indefinidamente” com amplitude constante. Portanto, o valor compatível com oscilações permanentes e fisicamente estáveis é
.
Passo 5
Exemplos rápidos para fixar:
- Se
a equação fica e a solução é
oscilações perpétuas com frequência
e amplitude constante.
- Se
, solução do tipo : oscilações que morrem com o tempo. - Se
, solução do tipo : amplitude cresce sem limite (instável).