Um sismógrafo registra y^{\prime \prime}+\gamma y^{\prime}+y=F(t). Sabendo que a massa oscila indefinidamente após ser solta (sem força externa), o que podemos afirmar sobre o valor de \gamma ?

Passo 1

O enunciado dá a equação do sismógrafo
y''+\gamma y'+y=F(t).
Diz também que a massa é solta e “oscila indefinidamente (sem força externa)”. Com isso temos duas informações importantes extraídas do enunciado:
  • “sem força externa” significa que devemos estudar a equação homogênea, isto é F(t)=0.
  • “oscila indefinidamente” quer dizer que, depois de solta, a massa continua a oscilar para sempre. Vou interpretar isso como oscilações permanentes sem que a amplitude vá para zero; isto é, oscilações persistentes e não amortecidas (se a amplitude crescesse sem limite isso seria instabilidade, não a sensação usual de “oscilar indefinidamente”).

Passo 2

Escrevendo a equação homogênea:
y''+\gamma y'+y=0.
A solução geral é encontrada resolvendo a equação característica associada:
r^{2}+\gamma r+1=0.
As raízes são
r=\frac{-\gamma\pm\sqrt{\gamma^{2}-4}}{2}.
Agora vamos ver os três tipos de comportamento que essas raízes geram e o que cada um significa fisicamente.

Passo 3

Casos dos coeficientes e suas soluções:
  • Se \gamma^{2}>4 (ou seja |\gamma|>2) as raízes são reais distintas. A solução é combinação de exponenciais reais e não há oscilação (comportamento superamortecido).
  • Se \gamma^{2}=4 (ou seja |\gamma|=2) as raízes são reais iguais (criticamente amortecido). Também não há oscilação oscilatória (apenas retorno sem oscilar).
  • Se \gamma^{2}<4 (ou seja |\gamma|<2) as raízes são complexas conjugadas. Escrevendo \sqrt{\;4-\gamma^{2}\;}=2\omega com \omega=\tfrac{1}{2}\sqrt{4-\gamma^{2}}, as raízes ficam
r=-\frac{\gamma}{2}\pm i\omega
e a solução tem a forma oscilatória
y(t)=e^{-\frac{\gamma}{2}t}\big(C_1\cos(\omega t)+C_2\sin(\omega t)\big).
Aqui o fator e^{-\frac{\gamma}{2}t} controla a amplitude das oscilações: se \gamma>0 a amplitude decai exponencialmente (amortecimento), se \gamma<0 a amplitude cresce exponencialmente (instabilidade / amortecimento negativo), e se \gamma=0 a amplitude é constante (oscilação harmônica livre).

Passo 4

Aplicando isso à condição do enunciado: “oscila indefinidamente” no sentido de oscilações persistentes com amplitude não decrescente exige que o fator exponencial não cause decaimento. Para que e^{-\frac{\gamma}{2}t} não decaia nem cresça é necessário que o expoente seja zero, ou seja
-\frac{\gamma}{2}=0\quad\Rightarrow\quad \gamma=0.
Observação: se \gamma<0 também haveria oscilações (raízes complexas) mas com amplitude que cresce exponencialmente — isso é instável e fisicamente corresponde a ganho de energia (amortecimento negativo), não ao caso típico de “oscilar indefinidamente” com amplitude constante. Portanto, o valor compatível com oscilações permanentes e fisicamente estáveis é \gamma=0.

Passo 5

Exemplos rápidos para fixar:
  • Se \gamma=0 a equação fica y''+y=0 e a solução é
y(t)=A\cos t + B\sin t,
oscilações perpétuas com frequência \,1 e amplitude constante.
  • Se \gamma>0, solução do tipo e^{-(\gamma/2)t}\cos(\omega t): oscilações que morrem com o tempo.
  • Se \gamma<0, solução do tipo e^{+|\gamma|/2\;t}\cos(\omega t): amplitude cresce sem limite (instável).

Resposta

\gamma=0

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