Resolva o PVI:
usando o método de Euler com
e
. Como você explica esses resultados?
Passo 1
Beleza, o exercício pede para a gente resolver o PVI
usando o método de Euler explícito com passos
e
.
Conteúdo: equações diferenciais ordinárias (EDO) e método de Euler. Vamos precisar da fórmula de iteração do método de Euler e de um pouco de análise de estabilidade.
Conteúdo: equações diferenciais ordinárias (EDO) e método de Euler. Vamos precisar da fórmula de iteração do método de Euler e de um pouco de análise de estabilidade.
Passo 2
Fórmula do método de Euler explícito:
Aqui
, então
Isso significa que a cada passo a gente multiplica o valor atual
por um fator
.
Passo 3
Caso
:
Logo
e daí em diante
,
etc.
Ou seja, a partir de o método já zera tudo e fica em zero.
Ou seja, a partir de
Passo 4
Caso
:
Então
Isso dá
,
,
… ou seja, uma oscilação entre
e
.
Passo 5
Explicando esses resultados:
- A solução exata do PVI é
, que decai suave e positivamente para zero. - O método de Euler é “estável” se
, aqui . - Para
, está dentro da região de estabilidade ( ), mas “puxa” tudo instantaneamente para zero, subestimando demais a solução. - Para
, está na fronteira de estabilidade, o que gera oscilações persistentes.
Resumindo: passo muito grande em uma EDO “rígida” (comgrande) deixa o Euler explícito extremamente impreciso ou até instável.
- Para
Resposta
Para
:
já a partir de
.
Para :
, alternando entre
e
.
Isso acontece por causa da condição de estabilidade ; com
o método zera tudo, e com
fica na fronteira, gerando oscilações.
Para
Isso acontece por causa da condição de estabilidade