Resolva o PVI:
l y^prime=-10 y y(0)=1 0 <= x <= 2
usando o método de Euler com h=0,1 e h=0,2. Como você explica esses resultados?

Passo 1

Beleza, o exercício pede para a gente resolver o PVI
y' = -10y, y(0)=1, 0 <= x <= 2
usando o método de Euler explícito com passos e .
Conteúdo: equações diferenciais ordinárias (EDO) e método de Euler. Vamos precisar da fórmula de iteração do método de Euler e de um pouco de análise de estabilidade.

Passo 2

Fórmula do método de Euler explícito:
yn+1 = yn + h,f(xn,yn)
Aqui yn+1 = yn + h(-10yn) = yn,(1-10h) , então
Isso significa que a cada passo a gente multiplica o valor atual por um fator .

Passo 3

Caso q = 1 - 10cdot 0,1 = 1 - 1 = 0 :
y0 = 1, y1 = y0cdot 0 = 0,
Logo
e daí em diante , etc.
Ou seja, a partir de o método já zera tudo e fica em zero.

Passo 4

Caso q = 1 - 10cdot 0,2 = 1 - 2 = -1 :
yn = y0,(q)^n = 1cdot(-1)^n
Então
Isso dá , , … ou seja, uma oscilação entre e .

Passo 5

Explicando esses resultados:
  • A solução exata do PVI é , que decai suave e positivamente para zero.
  • O método de Euler é “estável” se , aqui .
    • Para , está dentro da região de estabilidade ( ), mas “puxa” tudo instantaneamente para zero, subestimando demais a solução.
    • Para , está na fronteira de estabilidade, o que gera oscilações persistentes.
      Resumindo: passo muito grande em uma EDO “rígida” (com grande) deixa o Euler explícito extremamente impreciso ou até instável.

Resposta

Para : já a partir de .
Para : , alternando entre e .
Isso acontece por causa da condição de estabilidade ; com o método zera tudo, e com fica na fronteira, gerando oscilações.

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