Seja o sistema e b=[l2 1 0].
Faça alpha= 3. Determinar uma solução aproximada do sistema através do Método de Gauss-Seidel, considerando o erro menor que 1 0^- 5. Fornecer o valor do Erro em cada iteração e apresentar os desenvolvimentos teórico e de cálculo. (Valor: 1,0).
Passo 1
Beleza, o exercício diz que a gente tem o sistema
A x = b, A = 3 & 2 & 1 alpha^2 & -2 & 2alpha 1 & alpha & -2 , b=210,
e que a gente deve tomar . A ideia é aplicar o Método de Gauss–Seidel para achar uma solução aproximada com erro menor que , mostrando o erro em cada iteração e todo o fundamento teórico.
Matéria: Métodos Iterativos em Álgebra Linear.
O que vamos precisar:
Entender como o Gauss–Seidel gera as fórmulas iterativas;
Critério de convergência (dominância diagonal);
Calcular algumas iterações e o erro .
Passo 2
Teoria do Gauss–Seidel (GS): a gente reescreve cada equação isolando a incógnita principal e usa, a cada nova linha, o valor mais atualizado possível. Para o sistema x^(k+1) = -(D+L)^-1U,x^(k) + (D+L)^-1b , se |aii| > sumjneq i|aij| (diagonal, parte abaixo e parte acima da diagonal), o esquema é
Convergência: uma condição suficiente é que seja estritamente diagonalmente dominante, isto é, para toda linha ,
Repara que o erro não cai para abaixo de : na verdade oscila e permanece grande. Isso confirma a divergência do método neste caso.
Resposta
O Método de Gauss–Seidel, para , não converge (os erros oscilam e não se reduzem até ), pois a matriz não é estritamente diagonalmente dominante. Portanto, não é possível obter uma solução aproximada pelo critério dado.