Seja o sistema A=[ccc3 & 2 & 1 alpha^2 & -2 & 2 alpha 1 & alpha & -2], x=[lx1 x2 x3] e b=[l2 1 0].
Faça alpha= 3. Determinar uma solução aproximada do sistema através do Método de Gauss-Seidel, considerando o erro menor que 1 0^- 5. Fornecer o valor do Erro em cada iteração e apresentar os desenvolvimentos teórico e de cálculo. (Valor: 1,0).

Passo 1

Beleza, o exercício diz que a gente tem o sistema
A x = b, A = 3 & 2 & 1 alpha^2 & -2 & 2alpha 1 & alpha & -2 , b=210,
e que a gente deve tomar . A ideia é aplicar o Método de Gauss–Seidel para achar uma solução aproximada com erro menor que , mostrando o erro em cada iteração e todo o fundamento teórico.
Matéria: Métodos Iterativos em Álgebra Linear.
O que vamos precisar:
  • Entender como o Gauss–Seidel gera as fórmulas iterativas;
  • Critério de convergência (dominância diagonal);
  • Calcular algumas iterações e o erro .

Passo 2

Teoria do Gauss–Seidel (GS): a gente reescreve cada equação isolando a incógnita principal e usa, a cada nova linha, o valor mais atualizado possível. Para o sistema x^(k+1) = -(D+L)^-1U,x^(k) + (D+L)^-1b , se |aii| > sumjneq i|aij| (diagonal, parte abaixo e parte acima da diagonal), o esquema é
Convergência: uma condição suficiente é que seja estritamente diagonalmente dominante, isto é, para toda linha ,
Se não atender, o GS pode divergir.

Passo 3

Vamos colocar A = 3 & 2 & 1 9 & -2 & 6 1 & 3 & -2 , b=210 . Então
Cheque de dominância:
  • Linha 1: versus → não é estritamente maior (é igual).
  • Linha 2: versus → falha.
  • Linha 3: versus → falha.
Ou seja, não há dominância diagonal estrita, então não temos garantia de convergência.

Passo 4

Mesmo assim, vamos escrever as fórmulas de iteração (partindo de x1^(k+1) = 2 - 2,x2^(k) - x3^(k)3 ):
Equação 1: x2^(k+1) = 1 - 9,x1^(k+1) -6,x3^(k)-2
x3^(k+1) = 0 - x1^(k+1) -3,x2^(k+1)-2
Equação 2: e^(k) = l|x^(k) - x^(k-1)r|infty = maxi l|x^(k)i - x^(k-1)ir|
Equação 3:
O erro em cada passo é

Passo 5

Vamos às primeiras iterações rápidas:
k=1, com :

Erro .
k=2:

Erro .
k=3:

Erro .
k=4:

Erro .
Repara que o erro não cai para abaixo de : na verdade oscila e permanece grande. Isso confirma a divergência do método neste caso.

Resposta

O Método de Gauss–Seidel, para , não converge (os erros oscilam e não se reduzem até ), pois a matriz não é estritamente diagonalmente dominante. Portanto, não é possível obter uma solução aproximada pelo critério dado.

Exercícios relacionados