Resolva os PVIs dados a seguir, usando fator integrante:
y^prime=2 y+x(e^3 x-e^2 x), y(0)=2

Passo 1

O enunciado é um PVI de primeira ordem
y' = 2y + xl(e^3x-e^2xr), y(0)=2
Isso é uma equação linear do tipo
y' - 2y = xl(e^3x-e^2xr),
e vamos usar fator integrante.

Passo 2

Colocamos a equação na forma padrão
y' - 2y = x,e^3x - x,e^2x

Passo 3

O fator integrante é
mu(x) = e^-integral 2,dx = e^-2x
Multiplicando a equação por mu(x), obtemos
e^-2xy' - 2e^-2xy = e^-2xl(xe^3x - xe^2xr)
O lado esquerdo é (y,e^-2x)'.

Passo 4

Logo,
(y,e^-2x)' = xl(e^x-1r)

Passo 5

Integramos ambos os lados:
y,e^-2x = integral xl(e^x-1r),dx = integral x e^x,dx ;-; integral x,dx
Sabendo que integral x e^x,dx=(x-1)e^x e integral x,dx = tfracx^22, concluímos
y,e^-2x = (x-1)e^x - x^22 + C

Passo 6

Isolando y:
y = e^2xl[(x-1)e^x - tfracx^22 + Cr] = (x-1)e^3x - x^22,e^2x + C,e^2x

Passo 7

Usamos y(0)=2:
y(0) = (-1)e^0 + C,e^0 = -1 + C = 2 Longrightarrow C = 3

Resposta

y(x) = (x-1)e^3x + l(3 - x^22r)e^2x

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