Resolva os PVIs dados a seguir, usando fator integrante:
x d yd x+6 y=x^3 e^x y(1)=1

Passo 1

O enunciado dá o PVI
x dydx + 6y = x^3 e^x, y(1)=1
Este é uma equação diferencial linear de 1ª ordem em y. Vamos trazê-la à forma padrão e usar fator integrante.

Passo 2

Dividindo por x (supondo xneq0), obtemos a forma padrão
dydx + 6x,y = x^2 e^x

Passo 3

O fator integrante mu(x) é
mu(x) = expl(integral 6x,dxr) = expl(6ln|x|r) = x^6

Passo 4

Multiplicando a equação padrão por x^6, fica
x^6dydx + 6x^5 y = x^8 e^x,
e o lado esquerdo é a derivada do produto:
ddxl(x^6 yr) = x^8 e^x

Passo 5

Integramos ambos os lados. Para evitar constantes desnecessárias, usamos integral definida de 1 a x:
x^6 y - 1^6cdot y(1) = integral1^x t^8 e^t,dt
Como y(1)=1, isso dá
x^6 y - 1 = integral1^x t^8 e^t,dt,
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y(x) = 1 + integral1^x t^8 e^t,dtx^6

Resposta

boxedy(x) = 1 + integral1^x t^8 e^t,dtx^6

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