Resolva os PVIs dados a seguir, usando fator integrante:
d yd x+5 y=20 y(0)=2

Passo 1

O enunciado pede para resolver o PVI
dydx + 5y = 20, y(0)=2
Isso é uma EDO linear de primeira ordem. Vamos usar o método do fator integrante para encontrar a solução geral e depois impor a condição inicial.

Passo 2

Primeiro colocamos na forma padrão
y' + P(x),y = Q(x),
onde aqui P(x)=5 e Q(x)=20. O fator integrante é
mu(x) = expl(integral P(x),dxr) = expl(5xr) = e^5x

Passo 3

Multiplicamos toda a equação original por mu(x):
e^5xy' + 5e^5xy = 20,e^5x
O lado esquerdo é justamente a derivada de e^5xy, pois
ddxl(e^5xyr) = e^5xy' + 5e^5xy
Logo a equação vira
ddxl(e^5xyr) = 20,e^5x

Passo 4

Agora integramos ambos os lados em relação a x:
integral ddxl(e^5xyr),dx = integral 20,e^5x,dx Longrightarrow e^5xy = 20cdote^5x5 + C = 4e^5x + C
Isolando y, obtemos
y = 4 + C,e^-5x

Passo 5

Aplicamos a condição inicial y(0)=2:
2 = 4 + C,e^0 Longrightarrow C = 2 - 4 = -2
Portanto a solução do PVI é
y(x) = 4 - 2,e^-5x

Resposta

y(x) = 4 - 2e^-5x

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