Use o método de Runge-Kutta RK4 para resolver os seguintes problemas de valor inicial
(a)
(b)
(c) Compare os valores obtidos com as soluções exatas (e para a letra
para a letra
). Determine os erros relativos.
(a)
Passo 1
O enunciado pede para aproximar por Runge–Kutta de 4ª ordem (RK4), com passo
, as soluções de duas EDOs em
:
(a) ,
;
(b) ,
,
.
Depois comparamos com
e
com
, calculando o erro relativo em cada caso.
(a)
(b)
Depois comparamos
Passo 2
Para (a) definimos
. As fórmulas do RK4 são:
Com
,
e
:
1º passo ( ):
,
,
,
,
2º passo ( ):
,
,
,
,
1º passo (
2º passo (
Passo 3
O valor exato em
é
. O erro relativo em (a) é
Passo 4
Para (b) escrevemos o 2º ordem como sistema
e aplicamos RK4 a
(y1,y2) com
h=0,5 .
1º passo (t=0to0,5 ):
k1^1=0,5cdot1=0,5,;k1^2=0,5cdot0=0 ,
k2^1=0,5cdot1=0,5,;k2^2=0,5cdot(-0,25)=-0,125 ,
k3^1=0,5cdot0,9375=0,46875,;k3^2=0,5cdot(-0,25)=-0,125 ,
k4^1=0,5cdot0,875=0,4375,;k4^2=0,5cdot(-0,46875)=-0,234375 ,
y1(0,5)approxtfrac16(0,5+2cdot0,5+2cdot0,46875+0,4375)=0,47917,
y2(0,5)approx1 + tfrac16(0 +2cdot(-0,125)+2cdot(-0,125)+(-0,234375))=0,87760
2º passo (t=0,5to1 ):
k1^1=0,5cdot0,87760=0,43880,;k1^2=0,5cdot(-0,47917)=-0,23958 ,
k2^1=0,5cdot0,75781=0,37891,;k2^2=0,5cdot(-0,69857)=-0,34928 ,
k3^1=0,5cdot0,70296=0,35148,;k3^2=0,5cdot(-0,66862)=-0,33431 ,
k4^1=0,5cdot0,54329=0,27165,;k4^2=0,5cdot(-0,83065)=-0,41532 ,
y1(1)approx0,47917 + tfrac16(0,43880+2cdot0,37891+2cdot0,35148+0,27165)=0,84104,
y2(1)approx0,87760 + tfrac16(-0,23958+2cdot(-0,34928)+2cdot(-0,33431)+(-0,41532))=0,54059
1º passo (
2º passo (
Passo 5
O valor exato em
x=1 é
sin(1)approx0,84147 . O erro relativo em (b) é
Resposta
Para (a):
x(1)approx2,71735 , erro relativo
approx0,000343 .
Para (b):y(1)approx0,84104 , erro relativo
approx0,000516 .
Para (b):