Use o método de Runge-Kutta RK4 para resolver os seguintes problemas de valor inicial
(a)
l dotx=x x(0)=1 , t in[0,1] com h=0.5
(b)
l y^prime prime=-y y(0)=0, y^prime(0)=1 , x in[0,1] com h=0.5
(c) Compare os valores obtidos com as soluções exatas (e para a letra a e sin (1) para a letra b ). Determine os erros relativos.

Passo 1

O enunciado pede para aproximar por Runge–Kutta de 4ª ordem (RK4), com passo h=0,5, as soluções de duas EDOs em [0,1]:
(a) dot x = x, x(0)=1;
(b) y''=-y, y(0)=0, y'(0)=1.
Depois comparamos x(1) com e e y(1) com sin(1), calculando o erro relativo em cada caso.

Passo 2

Para (a) definimos f(t,x)=x. As fórmulas do RK4 são:
k1 = h,f(tn,xn), k2 = h,fl(tn+tfrac h2,,xn+tfrack12r), k3 = h,fl(tn+tfrac h2,,xn+tfrack22r), k4 = h,f(tn+h,,xn+k3),
xn+1 = xn + tfrac16,(k1 + 2k2 + 2k3 + k4)
Com t0=0, x0=1 e h=0,5:
1º passo ( t=0to0,5):
k1=0,5cdot1=0,5,
k2=0,5cdot1,25=0,625,
k3=0,5cdot1,3125=0,65625,
k4=0,5cdot1,65625=0,828125,
x(0,5)approx1 + tfrac16(0,5+2cdot0,625+2cdot0,65625+0,828125)=1,64844
2º passo ( t=0,5to1):
k1=0,5cdot1,64844=0,82422,
k2=0,5cdot2,06055=1,03027,
k3=0,5cdot2,16357=1,08179,
k4=0,5cdot2,73022=1,36511,
x(1)approx1,64844 + tfrac16(0,82422+2cdot1,03027+2cdot1,08179+1,36511)=2,71735

Passo 3

O valor exato em t=1 é eapprox2,71828. O erro relativo em (a) é
varepsilona = l|2,71735 - 2,71828r|2,71828approx0,000343

Passo 4

Para (b) escrevemos o 2º ordem como sistema
y1'=y2, y2'=-y1, y1(0)=0,;y2(0)=1,
e aplicamos RK4 a (y1,y2) com h=0,5.
1º passo ( t=0to0,5):
k1^1=0,5cdot1=0,5,;k1^2=0,5cdot0=0,
k2^1=0,5cdot1=0,5,;k2^2=0,5cdot(-0,25)=-0,125,
k3^1=0,5cdot0,9375=0,46875,;k3^2=0,5cdot(-0,25)=-0,125,
k4^1=0,5cdot0,875=0,4375,;k4^2=0,5cdot(-0,46875)=-0,234375,
y1(0,5)approxtfrac16(0,5+2cdot0,5+2cdot0,46875+0,4375)=0,47917,
y2(0,5)approx1 + tfrac16(0 +2cdot(-0,125)+2cdot(-0,125)+(-0,234375))=0,87760
2º passo ( t=0,5to1):
k1^1=0,5cdot0,87760=0,43880,;k1^2=0,5cdot(-0,47917)=-0,23958,
k2^1=0,5cdot0,75781=0,37891,;k2^2=0,5cdot(-0,69857)=-0,34928,
k3^1=0,5cdot0,70296=0,35148,;k3^2=0,5cdot(-0,66862)=-0,33431,
k4^1=0,5cdot0,54329=0,27165,;k4^2=0,5cdot(-0,83065)=-0,41532,
y1(1)approx0,47917 + tfrac16(0,43880+2cdot0,37891+2cdot0,35148+0,27165)=0,84104,
y2(1)approx0,87760 + tfrac16(-0,23958+2cdot(-0,34928)+2cdot(-0,33431)+(-0,41532))=0,54059

Passo 5

O valor exato em x=1 é sin(1)approx0,84147. O erro relativo em (b) é
varepsilonb = l|0,84104-0,84147r|0,84147approx0,000516

Resposta

Para (a): x(1)approx2,71735, erro relativo approx0,000343.
Para (b): y(1)approx0,84104, erro relativo approx0,000516.

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