Resolva o seguinte sistema linear utilizando a fatoração LU com estratégia de pivoteamento parcial:
cccc x1 & -3 x2 & +2 x3=11 -2 x1 & +8 x2 & -x3=-15 4 x1 & -6 x2 & +5 x3=29

Passo 1

Beleza, aqui o enunciado é: “Resolva o sistema
x1-3x2+2x3=11, -2x1+8x2-x3=-15, 4x1-6x2+5x3=29
usando fatoração LU com pivoteamento parcial.”
Isso cai em “métodos numéricos” / “álgebra linear computacional”. A gente vai precisar:
  1. Montar a matriz e o vetor .
  2. Usar pivoteamento parcial (trocar linhas pra ter o maior pivô possível).
  3. Fazer eliminação de Gauss guardando os multiplicadores em e obtendo .
  4. Resolver (substituição direta) e (substituição regressiva).

Passo 2

Primeiro, escrevemos
A= 1 & -3 & 2 -2 & 8 & -1 4 & -6 & 5 , b=11-1529
Na coluna 1, o maior valor absoluto entre P= 0&0&1 0&1&0 1&0&0 , PA= 4 & -6 & 5 -2 & 8 & -1 1 & -3 & 2 , Pb=29-1511 , , é (linha 3). Então trocamos linha 1↔3:

Passo 3

Agora eliminamos abaixo de ell21=-24=-tfrac12, ell31=14=0.25 . Os multiplicadores são
U^(1)= 4 & -6 & 5 0 & 5 & 1.5 0 & -1.5 & 0.75
Atualizamos linhas 2 e 3:
Linha 2 ← L2 – ·L1 ⇒
.
Linha 3 ← L3 – ·L1 ⇒
.
Fica

Passo 4

Na coluna 2, entre pivôs ell32=-1.55=-0.3 (linha 2) e U= 4 & -6 & 5 0 & 5 & 1.5 0 & 0 & 1.2 (linha 3), o maior em módulo é , então não trocamos. Agora
e eliminamos L3 ← L3 – ·L2 ⇒ última linha vira
.
Logo

Passo 5

A matriz L= 1 & 0 & 0 -0.5 & 1 & 0 0.25 & -0.3 & 1 (com 1’s na diagonal e os abaixo) é
Temos, portanto, .

Passo 6

Resolvemos primeiro y1 = 29, y2 = -15 ;-;(-0.5)cdot29 = -15 +14.5 = -0.5, y3 = 11 ;-;0.25cdot29 ;-;(-0.3)cdot(-0.5) = 11 -7.25 -0.15 = 3.6 :

Passo 7

Agora 1.2,x3 = 3.6 ;Rightarrow; x3 = 3, 5,x2 +1.5cdot3 = -0.5 ;Rightarrow;5x2 = -5;Rightarrow;x2 = -1, 4,x1 -6cdot(-1) +5cdot3 = 29 ;Rightarrow;4x1 +6+15 =29 ;Rightarrow;4x1=8;Rightarrow;x1=2 por substituição regressiva:

Resposta

(x1,,x2,,x3) = (2,,-1,,3)

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