Resolva o seguinte sistema linear utilizando a fatoração LU com estratégia de pivoteamento parcial:
Passo 1
Beleza, aqui o enunciado é: “Resolva o sistema
x1-3x2+2x3=11, -2x1+8x2-x3=-15, 4x1-6x2+5x3=29
usando fatoração LU com pivoteamento parcial.”
Isso cai em “métodos numéricos” / “álgebra linear computacional”. A gente vai precisar:
Montar a matriz e o vetor .
Usar pivoteamento parcial (trocar linhas pra ter o maior pivô possível).
Fazer eliminação de Gauss guardando os multiplicadores em e obtendo .
Resolver (substituição direta) e (substituição regressiva).
Passo 2
Primeiro, escrevemos
A= 1 & -3 & 2 -2 & 8 & -1 4 & -6 & 5 , b=11-1529
Na coluna 1, o maior valor absoluto entre P= 0&0&1 0&1&0 1&0&0 , PA= 4 & -6 & 5 -2 & 8 & -1 1 & -3 & 2 , Pb=29-1511 , , é (linha 3). Então trocamos linha 1↔3:
Passo 3
Agora eliminamos abaixo de ell21=-24=-tfrac12, ell31=14=0.25 . Os multiplicadores são
U^(1)= 4 & -6 & 5 0 & 5 & 1.5 0 & -1.5 & 0.75
Atualizamos linhas 2 e 3:
Linha 2 ← L2 – ·L1 ⇒ .
Linha 3 ← L3 – ·L1 ⇒ .
Fica
Passo 4
Na coluna 2, entre pivôs ell32=-1.55=-0.3 (linha 2) e U= 4 & -6 & 5 0 & 5 & 1.5 0 & 0 & 1.2 (linha 3), o maior em módulo é , então não trocamos. Agora
e eliminamos L3 ← L3 – ·L2 ⇒ última linha vira .
Logo
Passo 5
A matriz L= 1 & 0 & 0 -0.5 & 1 & 0 0.25 & -0.3 & 1 (com 1’s na diagonal e os abaixo) é