Seja o sistema linear .
(a) É possível dizer se o Método de Jacobi é convergente para esse sistema, usando o critério das linhas?
(b) Mostre que a aplicação do Método de Jacobi sobre o sistema equivalente obtido pela permutação das duas primeiras equações, gera uma sequência convergente. Realize três iterações do Método de Jacobi com lx1 x2 x3 calculando o erro relativo em cada iteração.
Passo 1
Beleza, mano! O exercício é da matéria de Métodos Iterativos em Álgebra Linear, e pede duas coisas:
a) Usar o critério das linhas (diagonal dominante por linhas) pra ver se o método de Jacobi vai convergir no sistema
[ 1 & 3 & -1 5 & 2 & 2 0 & 6 & 8 x1x2x3 = -23-6 xi^(k+1) =1aiil(bi-sumjneq iaij,xj^(k)r)
e^(k)=|x^(k+1)-x^(k)|infty|x^(k+1)|infty .
]
b) Trocar a 1ª e a 2ª equação (ou seja, permutar as linhas), mostrar que daí ele fica diagonal dominante e convergente, e então rodar 3 iterações de Jacobi a partir de , calculando o erro relativo em cada passo.
Para isso a gente vai precisar:
Entender o critério de diagonal dominante (soma dos outros elementos de cada linha vs. o elemento da diagonal).
Montar as fórmulas do método de Jacobi:
Saber definir o erro relativo (em norma infinito):
Passo 2
Parte (a) – Critério das linhas
O critério diz: a matriz |aii| > sumjneq i|aij| é diagonalmente dominante por linhas se, para todo 1&3&-15&2&20&6&8,
Vamos checar cada linha de
Linha 1: e . Como , falha.
Linha 2: e . , falha também.
Linha 3: e . Aqui até dá , mas já basta uma falha para derrubar o critério.
Conclusão da (a): NÃO podemos garantir convergência de Jacobi nesse sistema original, pois ele NÃO é diagonal dominante por linhas.
Passo 3
Parte (b) – Permutação e convergência
Se permutarmos a 1ª e a 2ª equação, fica:
[
\underbrace{ underbrace 5 & 2 & 2 1 & 3 & -1 0 & 6 & 8 A' , x = underbrace3-2-6b'
}_{A’}
,
x
(a) Não. O sistema original NÃO é diagonalmente dominante por linhas, então o critério não garante convergência de Jacobi.
(b) Após permutar as duas primeiras equações, o novo sistema fica diagonalmente dominante por linhas e, portanto, o método de Jacobi CONVERGE. Com , obtemos: