Seja o sistema linear
ccc1 & 3 & -1 5 & 2 & 2 0 & 6 & 8.
(a) É possível dizer se o Método de Jacobi é convergente para esse sistema, usando o critério das linhas?
(b) Mostre que a aplicação do Método de Jacobi sobre o sistema equivalente obtido pela permutação das duas primeiras equações, gera uma sequência convergente. Realize três iterações do Método de Jacobi com lx1 x2 x3 calculando o erro relativo em cada iteração.

Passo 1

Beleza, mano! O exercício é da matéria de Métodos Iterativos em Álgebra Linear, e pede duas coisas:
a) Usar o critério das linhas (diagonal dominante por linhas) pra ver se o método de Jacobi vai convergir no sistema
[
1 & 3 & -1 5 & 2 & 2 0 & 6 & 8 x1x2x3 = -23-6
xi^(k+1) =1aiil(bi-sumjneq iaij,xj^(k)r)

e^(k)=|x^(k+1)-x^(k)|infty|x^(k+1)|infty .
]
b) Trocar a 1ª e a 2ª equação (ou seja, permutar as linhas), mostrar que daí ele fica diagonal dominante e convergente, e então rodar 3 iterações de Jacobi a partir de , calculando o erro relativo em cada passo.
Para isso a gente vai precisar:
  • Entender o critério de diagonal dominante (soma dos outros elementos de cada linha vs. o elemento da diagonal).
  • Montar as fórmulas do método de Jacobi:
  • Saber definir o erro relativo (em norma infinito):

Passo 2

Parte (a) – Critério das linhas
O critério diz: a matriz |aii| > sumjneq i|aij| é diagonalmente dominante por linhas se, para todo 1&3&-15&2&20&6&8,
Vamos checar cada linha de
  • Linha 1: e . Como , falha.
  • Linha 2: e . , falha também.
  • Linha 3: e . Aqui até dá , mas já basta uma falha para derrubar o critério.
Conclusão da (a): NÃO podemos garantir convergência de Jacobi nesse sistema original, pois ele NÃO é diagonal dominante por linhas.

Passo 3

Parte (b) – Permutação e convergência
Se permutarmos a 1ª e a 2ª equação, fica:
[
\underbrace{
underbrace 5 & 2 & 2 1 & 3 & -1 0 & 6 & 8 A' , x = underbrace3-2-6b'
}_{A’}
,
x

\underbrace{ x1^(k+1) = dfrac15l(3 - 2,x2^(k) - 2,x3^(k)r),[6pt] x2^(k+1) = dfrac13l(-2 - 1,x1^(k) + 1,x3^(k)r),[6pt] x3^(k+1) = dfrac18l(-6 - 6,x2^(k)r) }_{b’}.
]
Agora testamos de novo o critério de linhas em :
  • Linha 1: , ok.
  • Linha 2: , ok.
  • Linha 3: , ok.
Logo É diagonalmente dominante em todas as linhas, e por um teorema fundamental de métodos iterativos, o Jacobi vai convergir.
As fórmulas de iteração de Jacobi para esse são:

Passo 4

Iteração 1 (usando x1^(1) &=15l(3 -2(-0,7)-2(-0,75)r) =3+1,4+1,55 =5,95 =1,18, x2^(1) &=13l(-2 -0,6+(-0,75)r) =-2 -0,6 -0,753 =-3,353 approx -1,1167, x3^(1) &=18l(-6 -6(-0,7)r) =-6 +4,28 =-1,88 =-0,225 )
Calculemos cada componente:
e^(0)=|x^(1)-x^(0)|infty|x^(1)|infty =max|1,18-0,6|,;|-1,1167-(-0,7)|,;|-0,225-(-0,75)| max1,18,;1,1167,;0,225 =0,581,18 approx0,4915
Agora o erro relativo (norma infinito):

Passo 5

Iteração 2
Usando x1^(2) &=15l(3 -2(-1,1167)-2(-0,225)r) =3+2,2334+0,455 approx1,13668, x2^(2) &=13l(-2 -1,18 +(-0,225)r) =-3,4053 =-1,135, x3^(2) &=18l(-6 -6(-1,1167)r) =-6 +6,70028 approx0,087525 :
e^(1) =max|1,13668-1,18|,;|-1,135-(-1,1167)|,;|0,087525-(-0,225)| max1,13668,;1,135,;0,087525 =0,3125251,13668 approx0,2750
Erro relativo:

Passo 6

Iteração 3
Usando x1^(3) &=15l(3 -2(-1,135)-2(0,087525)r) approx1,01899, x2^(3) &=13l(-2 -1,13668+0,087525r) approx-1,01638, x3^(3) &=18l(-6 -6(-1,135)r) =0,10125 :
e^(2) =max|1,01899-1,13668|,;|-1,01638-(-1,135)|,;|0,10125-0,087525| max1,01899,;1,01638,;0,10125 approx0,118621,01899 approx0,1164
Erro relativo:

Resposta

(a) Não. O sistema original NÃO é diagonalmente dominante por linhas, então o critério não garante convergência de Jacobi.
(b) Após permutar as duas primeiras equações, o novo sistema fica diagonalmente dominante por linhas e, portanto, o método de Jacobi CONVERGE. Com , obtemos:
  • , erro ≈ 0,4915
  • , erro ≈ 0,2750
  • , erro ≈ 0,1164

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