O processo de fatoração LU com pivoteamento parcial de uma matriz A resultou nas matrizes seguintes:
(a)Qual é a matriz A?
(b)Utilize L, U e P para resolver
A x=b onde
lll41 & 8,6 & 10 .
(b)Utilize L, U e P para resolver
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que já temos a fatoração LU com pivoteamento parcial de uma matriz
P,A ;=; L,U , ou seja
onde
Temos dois objetivos:
(a) Recuperar .
(b) Resolver com
.
(a) Recuperar
(b) Resolver
O conteúdo envolvido é fatoração LU com pivoteamento parcial, multiplicação de matrizes e substituição progressiva e regressiva. Vamos usar:
-
pois é ortogonal ( ). - Para resolver
, fazemos , ou seja , depois solucionamos-
(substituição progressiva). -
(substituição regressiva).
-
Passo 2
Calculando
P^T = P^-1 = 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 1 & 0 & 0 . Primeiro achamos
P^T L = 0&1&00&0&11&0&0 1 &0 &0 -0,2&1&0 0,8&-0,8&1 = -0,2 &1 &0 0,8 &-0,8 &1 1 &0 &0
Multiplicamos
A = (P^T L),U = -0,2 &1 &0 0,8 &-0,8 &1 1 &0 &0 -5 &-5 &1 0 &-6 &-3,8 0 &0 &7 :
[
P^T L
=
a11 = (-0,2)(-5)+1cdot0+0cdot0 = 1, a12 = (-0,2)(-5)+1cdot(-6)+0 = -5, a13 = (-0,2)(1)+1cdot(-3,8)+0 = -4
a21 = 0,8(-5)+(-0,8)cdot0+1cdot0 = -4, a22 = 0,8(-5)+(-0,8)(-6)+0 = 0,8, a23 = 0,8(1)+(-0,8)(-3,8)+1cdot7 = 10,84
]
Agora multiplica pelo
boxedA = 1 & -5 & -4 -4 & 0,8 & 10,84 -5 & -5 & 1 :
Vamos calcular linha a linha:
- Primeira linha
: - Segunda linha
: - Terceira linha
: é igual à primeira linha de :
Então
Passo 3
Agora vamos resolver
b=418,610, P,b = 0&0&11&0&00&1&0 418,610 = 10418,6 . Primeiro formamos
:
[
b=
,\quad
P,b =
]
Passo 4
Resolvendo
L= 1 &0 &0 -0,2&1&0 0,8&-0,8&1 , y=(y1,y2,y3)^T, P,b=(10,41,8,6)^T por substituição progressiva.
Equações:
-
⇒ -
⇒ -
⇒
Logo
Passo 5
Agora fazemos
U= -5 &-5 &1 0 &-6 &-3,8 0 &0 &7 , x=(x1,x2,x3)^T, y=(10,43,35)^T por substituição regressiva.
Da terceira equação:
⇒
Da segunda: ⇒
⇒
Da primeira: ⇒
⇒
Da segunda:
Da primeira:
Resposta
(a)
1 & -5 & -4 -4 & 0,8 & 10,84 -5 & -5 & 1
(b)
tfrac283[3pt]-tfrac313[3pt]5