O processo de fatoração LU com pivoteamento parcial de uma matriz A resultou nas matrizes seguintes:
L=[ccc 1 & 0 & 0 -0,2 & 1 & 0 0,8 & -0,8 & 1 ], U=[ccc -5 & -5 & 1 0 & -6 & -3,8 0 & 0 & 7 ], P=[lll 0 & 0 & 1 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 ]
(a)Qual é a matriz A?
(b)Utilize L, U e P para resolver A x=b onde lll41 & 8,6 & 10.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que já temos a fatoração LU com pivoteamento parcial de uma matriz P,A ;=; L,U , ou seja
L= 1 & 0 & 0 -0,2 & 1 & 0 0,8 & -0,8 & 1 , U= -5 & -5 & 1 0 & -6 & -3,8 0 & 0 & 7 , P= 0 & 0 & 1 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0
onde
Temos dois objetivos:
(a) Recuperar .
(b) Resolver com .
O conteúdo envolvido é fatoração LU com pivoteamento parcial, multiplicação de matrizes e substituição progressiva e regressiva. Vamos usar:
  • pois é ortogonal ( ).
  • Para resolver , fazemos , ou seja , depois solucionamos
    1. (substituição progressiva).
    2. (substituição regressiva).

Passo 2

Calculando P^T = P^-1 = 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 1 & 0 & 0 . Primeiro achamos
P^T L = 0&1&00&0&11&0&0 1 &0 &0 -0,2&1&0 0,8&-0,8&1 = -0,2 &1 &0 0,8 &-0,8 &1 1 &0 &0
Multiplicamos A = (P^T L),U = -0,2 &1 &0 0,8 &-0,8 &1 1 &0 &0 -5 &-5 &1 0 &-6 &-3,8 0 &0 &7 :
[
P^T L
= a11 = (-0,2)(-5)+1cdot0+0cdot0 = 1, a12 = (-0,2)(-5)+1cdot(-6)+0 = -5, a13 = (-0,2)(1)+1cdot(-3,8)+0 = -4
a21 = 0,8(-5)+(-0,8)cdot0+1cdot0 = -4, a22 = 0,8(-5)+(-0,8)(-6)+0 = 0,8, a23 = 0,8(1)+(-0,8)(-3,8)+1cdot7 = 10,84

(a31,a32,a33) = (-5,-5,1) .
]
Agora multiplica pelo boxedA = 1 & -5 & -4 -4 & 0,8 & 10,84 -5 & -5 & 1 :
Vamos calcular linha a linha:
  1. Primeira linha :
  2. Segunda linha :
  3. Terceira linha : é igual à primeira linha de :
Então

Passo 3

Agora vamos resolver b=418,610, P,b = 0&0&11&0&00&1&0 418,610 = 10418,6 . Primeiro formamos :
[
b= ,\quad
P,b =

.
]

Passo 4

Resolvendo L= 1 &0 &0 -0,2&1&0 0,8&-0,8&1 , y=(y1,y2,y3)^T, P,b=(10,41,8,6)^T por substituição progressiva.
y = 104335
Equações:

Logo

Passo 5

Agora fazemos U= -5 &-5 &1 0 &-6 &-3,8 0 &0 &7 , x=(x1,x2,x3)^T, y=(10,43,35)^T por substituição regressiva.
Da terceira equação:
Da segunda:

Da primeira:

Resposta

(a) 1 & -5 & -4 -4 & 0,8 & 10,84 -5 & -5 & 1
(b) tfrac283[3pt]-tfrac313[3pt]5

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