Seja um sistema matricial A X=B, em que A in R^n times n, X in R^n times p e B in R^n times p.
(a) Verifique que tal sistema pode ser resolvido pela solução de p sistemas auxiliares A xk=bk, em que bk in R^n é a k-ésima coluna de B.
(b) Qual seria a vantagem de utilizar a fatoração A= LU para a resolução deste sistema?

Passo 1

Beleza, aqui a questão é de Álgebra Linear mesmo. A gente tem um sistema matricial
A,X = B
onde
- A,xk = bk, k=1,2,dots,p, é uma matriz quadrada de tamanho ,
- é uma matriz desconhecida de tamanho ,
- é uma matriz conhecida de tamanho .
O que a pergunta (a) pede é mostrar que, ao invés de resolver esse “mega” sistema de uma vez, dá pra separar em sistêmulas coluna por coluna:

onde é a coluna de e é a coluna de .
Na parte (b), querem saber por que faz sentido usar a fatoração (LU) pra resolver tudo isso de um jeito mais esperto.
Pra resolver a (a) a gente vai usar a propriedade de multiplicação de matrizes por colunas; e pra (b) vamos relembrar custos computacionais de fatoração e substituições.

Passo 2

Primeiro, lembre que toda matriz X = [,x1;;x2;;dots;;xp], pode ser vista como
A,X ;=; A[,x1;x2;dots;xp] ;=;[,A,x1;,;A,x2;,;dots;,;A,xp]
onde cada [,A,x1,;A,x2,;dots,;A,xp] = [,b1,;b2,;dots,;bp] é a coluna A,xk = bk, . Mesma coisa para .

Quando a gente multiplica por , o resultado é

Logo, impor significa
[
\big[,A,x_1,;A,x_2,;\dots,;A,x_p\big]

\big[,b_1,;b_2,;\dots,;b_p\big].
]
E duas matrizes são iguais se, e só se, todas as colunas correspondentes são iguais. Daí vem direto que pra cada vale
ou seja, temos sistemas lineares de ordem .

Passo 3

Agora, a vantagem de usar a fatoração (onde é triangular inferior e é triangular superior) é que a gente faz essa fatoração uma vez só e usa ela para cada coluna de .
  1. Primeiro passo (custo ): fatorar .
  2. Para cada coluna :
    a) Resolver por substituição dianteira ( ).
    b) Resolver por substituição retroativa ( ).
Se você fosse direto e resolvesse cada sistema pelo método de eliminação de Gauss independente, faria custo para cada , total .
Com LU é , que é bem mais em conta quando cresce.

Resposta

(a) Basta notar que , logo equivale aos sistemas .
(b) Com a fatoração a gente faz o “grosso” do trabalho (o ) só uma vez e depois resolve cada coluna em , economizando muito quando .

Exercícios relacionados