Seja um sistema matricial
, em que
e
.
(a) Verifique que tal sistema pode ser resolvido pela solução de
sistemas auxiliares
, em que
é a
-ésima coluna de
.
(b) Qual seria a vantagem de utilizar a fatoração
LU para a resolução deste sistema?
(a) Verifique que tal sistema pode ser resolvido pela solução de
(b) Qual seria a vantagem de utilizar a fatoração
Passo 1
Beleza, aqui a questão é de Álgebra Linear mesmo. A gente tem um sistema matricial
onde
-
-
-
O que a pergunta (a) pede é mostrar que, ao invés de resolver esse “mega” sistema de uma vez, dá pra separar em
sistêmulas coluna por coluna:
onde
Na parte (b), querem saber por que faz sentido usar a fatoração
(LU) pra resolver tudo isso de um jeito mais esperto.
Pra resolver a (a) a gente vai usar a propriedade de multiplicação de matrizes por colunas; e pra (b) vamos relembrar custos computacionais de fatoração e substituições.
Passo 2
Primeiro, lembre que toda matriz
pode ser vista como
onde cada
é a coluna
. Mesma coisa para
.
Quando a gente multiplica
por
, o resultado é
Logo, impor
significa
[
\big[,A,x_1,;A,x_2,;\dots,;A,x_p\big]
\big[,b_1,;b_2,;\dots,;b_p\big].
]
]
E duas matrizes são iguais se, e só se, todas as colunas correspondentes são iguais. Daí vem direto que pra cada
vale
ou seja, temos
sistemas lineares de ordem
.
Passo 3
Agora, a vantagem de usar a fatoração
(onde
é triangular inferior e
é triangular superior) é que a gente faz essa fatoração uma vez só e usa ela para cada coluna de
.
- Primeiro passo (custo
): fatorar . - Para cada coluna
:
a) Resolverpor substituição dianteira ( ).
b) Resolverpor substituição retroativa ( ).
Se você fosse direto e resolvesse cada sistema
pelo método de eliminação de Gauss independente, faria custo
para cada
, total
.
Com LU é , que é bem mais em conta quando
cresce.
Com LU é
Resposta
(a) Basta notar que
, logo
equivale aos
sistemas
.
(b) Com a fatoração a gente faz o “grosso” do trabalho (o
) só uma vez e depois resolve cada coluna em
, economizando muito quando
.
(b) Com a fatoração