A tarefa é resolver o sistema usando fatoração LU, isto é, encontrar matrizes L (lower triangular com diagonal unitária) e U (upper triangular) tais que A=LU, e então resolver Ly=b (substituição para frente) e Ux=y (substituição para trás). O ponto de partida é exatamente a matriz A e o vetor b dados acima.
Atualizo as linhas 2–5 subtraindo \ell_{i1} vezes a linha 1 (passo do método de eliminação). As linhas atualizadas (apenas colunas 2–5) ficam:
linha 2’: \,(8{,}9,\\\ -1{,}2,\\\ 1{,}7,\\\ -3{,}4) que em frações é \left(\dfrac{89}{10},-\dfrac{6}{5},\dfrac{17}{10},-\dfrac{17}{5}\right) quando consideramos a coluna 2 a partir do pivô. (Aqui usei a notação decimal para facilitar leitura.)
linha 3’: \,( -1{,}2,\\\ 6{,}6,\\\ 2{,}4,\\\ -5{,}8).
linha 4’: \,(1{,}7,\\\ 2{,}4,\\\ 11{,}1,\\\ -2{,}2).
linha 5’: \,( -3{,}4,\\\ -5{,}8,\\\ -2{,}2,\\\ 13{,}4).
Esses valores são obtidos diretamente com a_{ij}-\ell_{i1}u_{1j}. Vou usar formas racionais exatas quando for útil mais abaixo.
O valor numérico sugere x_5=1. Vou verificar consistência com as equações acima.
Da equação do quarto pivô:
u_{44}x_4+u_{45}x_5=y_4.
Substituindo x_5\approx1 e os valores numéricos de u_{44},u_{45},y_4 obtém-se x_4\approx-1{,}99992, isto é x_4=-2 (número inteiro exato, pela precisão dos racionais anteriores).
Da equação do terceiro pivô:
u_{33}x_3+u_{34}x_4+u_{35}x_5=y_3.
Substituindo x_4=-2 e x_5=1 e os valores racionais para u_{33},u_{34},u_{35},y_3 resulta x_3=3 exatamente.
Segunda equação superior:
u_{22}x_2+u_{23}x_3+u_{24}x_4+u_{25}x_5=y_2.
Substituindo x_3=3,x_4=-2,x_5=1 e y_2=-\dfrac{141}{5} obtém-se x_2=-2 exatamente.