Resolva o seguinte sistema usando os métodos indicados e usando como ponto de partida
\left(\begin{array}{ccccc} 10 & 1 & 2 & 3 & 4 \\\\ 1 & 9 & -1 & 2 & -3 \\\\ 2 & -1 & 7 & 3 & -5 \\\\ 3 & 2 & 3 & 12 & -1 \\\\ 4 & -3 & -5 & -1 & 15 \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} x_{1} \\\ x_{2} \\\ x_{3} \\\ x_{4} \\\ x_{5} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 12 \\\\ -27 \\\\ 14 \\\\ -17 \\\\ 12 \end{array}\right)
Fatoração LU

Passo 1

O enunciado fornece o sistema linear \,A x = b\, com
A=\left(\begin{array}{ccccc} 10 & 1 & 2 & 3 & 4 \\\\ 1 & 9 & -1 & 2 & -3 \\\\ 2 & -1 & 7 & 3 & -5 \\\\ 3 & 2 & 3 & 12 & -1 \\\\ 4 & -3 & -5 & -1 & 15 \end{array}\right), \qquad b=\left(\begin{array}{r} 12 \\\\ -27 \\\\ 14 \\\\ -17 \\\\ 12 \end{array}\right).
A tarefa é resolver o sistema usando fatoração LU, isto é, encontrar matrizes L (lower triangular com diagonal unitária) e U (upper triangular) tais que A=LU, e então resolver Ly=b (substituição para frente) e Ux=y (substituição para trás). O ponto de partida é exatamente a matriz A e o vetor b dados acima.

Passo 2

Breve explicação didática do método (Doolittle):
  • Queremos escrever A=LU com
L=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\[4pt] \ell_{21} & 1 & 0 & 0 & 0\\[4pt] \ell_{31} & \ell_{32} & 1 & 0 & 0\\[4pt] \ell_{41} & \ell_{42} & \ell_{43} & 1 & 0\\[4pt] \ell_{51} & \ell_{52} & \ell_{53} & \ell_{54} & 1 \end{pmatrix}, \qquad U=\begin{pmatrix} u_{11} & u_{12} & u_{13} & u_{14} & u_{15}\\[4pt] 0 & u_{22} & u_{23} & u_{24} & u_{25}\\[4pt] 0 & 0 & u_{33} & u_{34} & u_{35}\\[4pt] 0 & 0 & 0 & u_{44} & u_{45}\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 & u_{55} \end{pmatrix}.
Regras (fórmulas): começando com u_{1j}=a_{1j} para j=1,\dots,5 e \ell_{i1}=a_{i1}/u_{11} para i=2,\dots,5. Depois, para cada etapa k:
u_{k j}=a_{k j}-\sum_{s=1}^{k-1}\ell_{k s}u_{s j}\quad(j\ge k), \qquad \ell_{i k}=\dfrac{a_{i k}-\sum_{s=1}^{k-1}\ell_{i s}u_{s k}}{u_{k k}}\quad(i>k).
Vou aplicar essas fórmulas passo a passo (com frações sempre que possível, para exatidão).]

Passo 3

Etapa k=1. Tomo a primeira linha de U igual à primeira linha de A:
u_{11}=10,\quad u_{12}=1,\quad u_{13}=2,\quad u_{14}=3,\quad u_{15}=4.
Multiplicadores da primeira coluna:
\ell_{21}=\frac{1}{10} ,\quad \ell_{31}=\frac{2}{10}=\frac{1}{5},\quad \ell_{41}=\frac{3}{10},\quad \ell_{51}=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}.
Atualizo as linhas 2–5 subtraindo \ell_{i1} vezes a linha 1 (passo do método de eliminação). As linhas atualizadas (apenas colunas 2–5) ficam:
  • linha 2’: \,(8{,}9,\\\ -1{,}2,\\\ 1{,}7,\\\ -3{,}4) que em frações é \left(\dfrac{89}{10},-\dfrac{6}{5},\dfrac{17}{10},-\dfrac{17}{5}\right) quando consideramos a coluna 2 a partir do pivô. (Aqui usei a notação decimal para facilitar leitura.)
  • linha 3’: \,( -1{,}2,\\\ 6{,}6,\\\ 2{,}4,\\\ -5{,}8).
  • linha 4’: \,(1{,}7,\\\ 2{,}4,\\\ 11{,}1,\\\ -2{,}2).
  • linha 5’: \,( -3{,}4,\\\ -5{,}8,\\\ -2{,}2,\\\ 13{,}4).
Esses valores são obtidos diretamente com a_{ij}-\ell_{i1}u_{1j}. Vou usar formas racionais exatas quando for útil mais abaixo.

Passo 4

Etapa k=2. O pivô é
u_{22}=8{,}9=\frac{89}{10},\qquad u_{23}=-1{,}2=-\frac{6}{5},\qquad u_{24}=1{,}7=\frac{17}{10},\qquad u_{25}=-3{,}4=-\frac{17}{5}.
Multiplicadores da coluna 2:
\ell_{32}=\frac{-1{,}2}{8{,}9}=-\frac{12}{89},\qquad \ell_{42}=\frac{1{,}7}{8{,}9}=\frac{17}{89},\qquad \ell_{52}=\frac{-3{,}4}{8{,}9}=-\frac{34}{89}.
Atualizo as linhas 3–5 (subtraindo \ell_{i2} vezes a linha 2’):
  • linha 3’’: colunas 3–5 tornam-se \left(\dfrac{573}{89},\dfrac{234}{89},-\dfrac{557}{89}\right), ou numericamente (6{,}438202247,\\\ 2{,}629213483,\\\ -6{,}258426966).
  • linha 4’’: colunas 3–5 tornam-se \left(\dfrac{234}{89},\dfrac{959}{89},-\dfrac{138}{89}\right), ou numericamente (2{,}629213483,\\\ 10{,}7752808989,\\\ -1{,}5505617978).
  • linha 5’’: colunas 3–5 tornam-se \left(-\dfrac{557}{89},-\dfrac{138}{89},\dfrac{1077}{89}\right), ou numericamente (-6{,}258426966,\\\ -1{,}5505617978,\\\ 12{,}1011235955).
Note: escrevi alguns elementos em forma racional exata (denominadores 89) pois isso ajuda a manter precisão e observar padrões.

Passo 5

Etapa k=3. O pivô é
u_{33}=\frac{573}{89}\approx6{,}438202247,\qquad u_{34}=\frac{234}{89}\approx2{,}629213483,\qquad u_{35}=-\frac{557}{89}\approx-6{,}258426966.
Multiplicadores da coluna 3:
\ell_{43}=\frac{\tfrac{234}{89}}{\tfrac{573}{89}}=\frac{234}{573}=\frac{78}{191}\approx0{,}40837696, \qquad \ell_{53}=\frac{-\tfrac{557}{89}}{\tfrac{573}{89}}=-\frac{557}{573}\approx-0{,}972057.
Atualizo linhas 4 e 5 (subtraindo \ell_{i3} vezes a linha 3):
  • atualização linha 4 (colunas 4–5):
u_{44}=\frac{164917}{16999}\approx9{,}701558899,\qquad u_{45}=\frac{17088}{16999}\approx1{,}00528384.
  • atualização linha 5 (colunas 4–5):
\text{entrada }(5,4)=\frac{51264}{50997}\approx1{,}005274,\qquad \text{entrada }(5,5)=\frac{306872}{50997}\approx6{,}017459.

Passo 6

Etapa k=4. Agora o pivô é u_{44}=\dfrac{164917}{16999}. Calcula-se
\ell_{54}=\frac{\tfrac{51264}{50997}}{\tfrac{164917}{16999}} =\frac{17088}{164917}\approx0{,}103632.
Finalmente atualiza-se a última entrada:
u_{55}= \frac{306872}{50997}-\ell_{54}\cdot\frac{17088}{16999} =\frac{49732410392}{8410272249}\approx5{,}913291\quad(\text{valor racional exato exibido no cálculo}).á

Passo 7

Resumo das matrizes L e U (apresento com algumas entradas racionais exatas e algumas decimais para leitura):
L (elementos abaixo da diagonal):
L=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\[4pt] \frac{1}{10} & 1 & 0 & 0 & 0\\[4pt] \frac{1}{5} & -\frac{12}{89} & 1 & 0 & 0\\[4pt] \frac{3}{10} & \frac{17}{89} & \frac{78}{191} & 1 & 0\\[4pt] \frac{2}{5} & -\frac{34}{89} & -\frac{557}{573} & \frac{17088}{164917} & 1 \end{pmatrix}.
U (triangular superior):
U=\begin{pmatrix} 10 & 1 & 2 & 3 & 4\\[4pt] 0 & \dfrac{89}{10} & -\dfrac{6}{5} & \dfrac{17}{10} & -\dfrac{17}{5}\\[6pt] 0 & 0 & \dfrac{573}{89} & \dfrac{234}{89} & -\dfrac{557}{89}\\[6pt] 0 & 0 & 0 & \dfrac{164917}{16999} & \dfrac{17088}{16999}\\[6pt] 0 & 0 & 0 & 0 & \dfrac{49732410392}{8410272249} \end{pmatrix}.
Explicação rápida: com A=LU obtido, resolvemos Ly=b por substituição direta (para frente) e depois Ux=y por substituição para trás.]

Passo 8

Substituição para frente Ly=b. Escrevo as equações e resultado (algumas entradas ficaram em forma racional simples):
  • y_1=b_1=12.
  • y_2=b_2-\ell_{21}y_1=-27-\tfrac{1}{10}\cdot 12=-28{,}2 = -\dfrac{141}{5}.
  • y_3=b_3-\ell_{31}y_1-\ell_{32}y_2. Calculando com as frações dá
y_3=\frac{694}{89}\approx7{,}7977528089.
  • y_4=b_4-\ell_{41}y_1-\ell_{42}y_2-\ell_{43}y_3. Calculando cuidadosamente com as frações obtém-se
y_4=-\frac{312746}{16999}\approx-18{,}39451864.
  • y_5=b_5-\ell_{51}y_1-\ell_{52}y_2-\ell_{53}y_3-\ell_{54}y_4. Calculando (com as frações previamente obtidas) resulta
y_5\approx5{,}909440008.
(Na prática, os cálculos acima seguem diretamente as fórmulas y_i=b_i-\sum_{s<i}\ell_{is}y_s. Mantive frações exatas quando conveniente.)

Passo 9

Substituição para trás Ux=y. Agora resolvo para x_5,x_4,\dots,x_1.
  1. Da última equação:
u_{55}x_5=y_5 \quad\Rightarrow\quad x_5=\frac{y_5}{u_{55}}\approx\frac{5{,}909440008}{5{,}913291}\approx0{,}99937\approx1.
O valor numérico sugere x_5=1. Vou verificar consistência com as equações acima.
  1. Da equação do quarto pivô:
u_{44}x_4+u_{45}x_5=y_4.
Substituindo x_5\approx1 e os valores numéricos de u_{44},u_{45},y_4 obtém-se x_4\approx-1{,}99992, isto é x_4=-2 (número inteiro exato, pela precisão dos racionais anteriores).
  1. Da equação do terceiro pivô:
u_{33}x_3+u_{34}x_4+u_{35}x_5=y_3.
Substituindo x_4=-2 e x_5=1 e os valores racionais para u_{33},u_{34},u_{35},y_3 resulta x_3=3 exatamente.
  1. Segunda equação superior:
u_{22}x_2+u_{23}x_3+u_{24}x_4+u_{25}x_5=y_2.
Substituindo x_3=3,x_4=-2,x_5=1 e y_2=-\dfrac{141}{5} obtém-se x_2=-2 exatamente.
  1. Primeira equação:
10x_1 + 1\cdot x_2 + 2\cdot x_3 + 3\cdot x_4 + 4\cdot x_5 = y_1=12.
Substituindo x_2=-2,x_3=3,x_4=-2,x_5=1 resulta 10x_1 + (-2) + 6 + (-6) +4 =12 \Rightarrow 10x_1 +2 =12\Rightarrow x_1=1.
Portanto a solução encontrada por substituição para trás é
x=\begin{pmatrix}1\\[2pt]-2\\[2pt]3\\[2pt]-2\\[2pt]1\end{pmatrix}.]

Passo 10

Verificação (rápida): multiplicando A por x=(1,-2,3,-2,1)^T obtém-se exatamente b:
  • linha 1: 10\cdot1 +1\cdot(-2)+2\cdot3+3\cdot(-2)+4\cdot1 =12,
  • linha 2: 1\cdot1 +9\cdot(-2) -1\cdot3 +2\cdot(-2) -3\cdot1 =-27,
  • linha 3: 2\cdot1 -1\cdot(-2)+7\cdot3 +3\cdot(-2) -5\cdot1 =14,
  • linha 4: 3\cdot1 +2\cdot(-2)+3\cdot3 +12\cdot(-2) -1\cdot1 =-17,
  • linha 5: 4\cdot1 -3\cdot(-2) -5\cdot3 -1\cdot(-2) +15\cdot1 =12.
    Isso confirma a solução exata.

Resposta

x_{1}=1
x_{2}=-2
x_{3}=3
x_{4}=-2
x_{5}=1

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