Resolva o seguinte sistema utilizando o método de eliminação de Gauss com pivoteamento parcial:
rl x1+2 x2+3 x3 & =3 3 x1+x2 & =4 3 x2+4 x3 & =3

Passo 1

Beleza, o enunciado quer que a gente resolva esse sistema
x1 + 2x2 + 3x3 = 3, 3x1 + x2 ;+;0cdot x3 = 4, 0cdot x1 + 3x2 + 4x3 = 3,
usando eliminação de Gauss com pivoteamento parcial.
Conteúdo: método de Gauss (zerar coeficientes abaixo da diagonal, trocar linhas pra escolher o maior pivô em módulo e, no final, fazer substituição regressiva).
O que precisamos:
  1. montar a matriz aumentada;
  2. em cada coluna, achar o maior elemento em módulo na posição de pivô (linhas atuais) e trocar linhas;
  3. zerar abaixo do pivô;
  4. continuar até ficar triangular;
  5. voltar resolvendo de baixo pra cima.

Passo 2

Monta a matriz aumentada:
[ccc|c 1 & 2 & 3 & 3 3 & 1 & 0 & 4 0 & 3 & 4 & 3 ]
Na 1ª coluna, procuramos o maior pivô em valor absoluto entre as linhas 1–3: temos |1|, |3| e |0|. O maior é 3 (linha 2). Então trocamos a linha 1 com a linha 2:
[ccc|c 3 & 1 & 0 & 4 1 & 2 & 3 & 3 0 & 3 & 4 & 3 ]

Passo 3

Agora usamos o pivô 3 (posição (1,1)) pra zerar os elementos abaixo dele na mesma coluna:
  • Para a linha 2: fazemos R2 R2 - 13R1. R2: l[1,,2,,3mid3r] - tfrac13l[3,,1,,0mid4r] = l[0,,2-tfrac13,,3-0mid3-tfrac43r] = l[0,,tfrac53,,3midtfrac53r]
  • A linha 3 já tem zero na primeira coluna, então permanece.
    Fica:
[ccc|c 3 & 1 & 0 & 4 0 & tfrac53 & 3 & tfrac53 0 & 3 & 4 & 3 ]

Passo 4

Agora pivotamos na 2ª coluna (linhas 2–3). Comparamos |tfrac53|approx1.67 e |3|=3. O maior é 3 (linha 3). Trocamos linha 2 ↔ linha 3:
[ccc|c 3 & 1 & 0 & 4 0 & 3 & 4 & 3 0 & tfrac53 & 3 & tfrac53 ]

Passo 5

Usamos o pivô 3 na posição (2,2) pra zerar abaixo:
$$R_3 \leftarrow R_3 - \frac{\tfrac{5}{3}}{3},R_2
= R_3 - \tfrac{5}{9}R_2. R3 R3 - tfrac533,R2 = R3 - tfrac59R2ãá
\left[ tfrac53 - tfrac59cdot3 = tfrac53-tfrac53=0\right].
$$

Passo 6

Substituição regressiva:
  1. Da última linha: 79x3 = 0 implies x3 = 0
  2. Da segunda linha: 3x2 + 4x3 = 3 implies 3x2 = 3 implies x2 = 1
  3. Da primeira linha: 3x1 + 1cdot x2 + 0cdot x3 = 4 implies 3x1 + 1 = 4 implies 3x1 = 3 implies x1 = 1

Resposta

(x1,,x2,,x3) = (1,;1,;0)

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