Resolva as seguintes equações e inequações:
2 x(x^2-1)^2=4 x^3(x^2-1)

Passo 1

O enunciado pede pra gente resolver a equação
2,x,(x^2-1)^2 ;=; 4,x^3,(x^2-1)
Aqui o conteúdo é resolução de equações polinomiais por fatoração. Vamos usar a ideia de trazer tudo para um lado, fatorar e aplicar a propriedade do “produto nulo” (se um produto é zero, pelo menos um dos fatores é zero).

Passo 2

Primeiro, passo todas as parcelas para o mesmo lado:
2x(x^2-1)^2 - 4x^3(x^2-1) = 0
Agora vejo que dá pra fatorar um 2x,(x^2-1)^2 - 4x^3,(x^2-1) = 2x,(x^2-1)l((x^2-1) - 2x^2r) e um em comum:

Passo 3

Dentro do parêntese, faço a subtração:
(x^2 - 1) - 2x^2 = x^2 - 1 - 2x^2 = -x^2 - 1 = -(x^2 + 1)
Então a expressão toda vira
2x,(x^2-1),l[-(x^2+1)r] = -2x,(x^2-1),(x^2+1) = 0
Como multiplicar por 2x,(x^2-1),(x^2+1) = 0 não altera as raízes, a gente pode usar

Passo 4

Pela propriedade do produto nulo, cada fator pode ser zero:
  1. .
  2. .
  3. ⇒ sem solução real.

Resposta

As soluções reais são
x = -1, x = 0, x = 1

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