Resolva as seguintes equações e inequações:
x^2(x^2-4)=x(x-2)

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra resolver a equação
.
Isso é uma equação polinomial de grau 4, então vamos usar conteúdos de:
  • Colocar tudo num lado (padrão );
  • Fatoração (propriedade do produto zero);
  • Teorema do resto (para descobrir raízes “boas”);
  • Fórmula de Bhaskara (no final, se precisar).

Passo 2

Primeiro, a gente quer tudo igual a zero. Então:
x^4 -4x^2 ;-;(x^2 -2x);=;0 Longrightarrow x^4 -4x^2 -x^2 +2x =0 .
Vamos expandir e simplificar:
  1. boxedx^4 -5x^2 +2x =0

  2. Subtraindo tudo pra esquerda:

Passo 3

Agora vamos fatorar esse polinômio. Primeiro, reparou que todos os termos têm “x”?
Então podemos tirar x^4 -5x^2 +2x ;=; xl(x^3 -5x +2r) em evidência (fator comum):
Pela propriedade do produto zero, ou

ou
.

Passo 4

Para resolver x^3 -5x +2 = (x-2)(x^2 +2x -1) , a gente tenta raízes racionais via Teorema do Resto (divisores de 2): .
Testa : .
Testa : é raiz.
Então dividimos o polinômio por (divisão sintética ou normal). O resultado da divisão é .
Logo

Passo 5

Faltou resolver a quadrática x = -2 pm raiz2^2 -4cdot1cdot(-1)2cdot1 = -2 pm raiz4+42 = -2 pm raiz82 = -2 pm 2raiz22 = -1 pm raiz2 . A gente usa a fórmula de Bhaskara:

Resposta

As soluções da equação são
boxedx = 0, x = 2, x = -1+raiz2, x = -1-raiz2

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