Determinar todas as soluções inteiras e positivas das seguintes equações diofantinas lineares:
Passo 1
O enunciado pede: determinar todas as soluções inteiras e positivas da equação linear
Informações dadas:
Objetivo: encontrar todos os tríos
com
inteiros positivos que satisfazem a equação.
Passo 2
Vamos usar congruências para reduzir a equação e obter uma relação entre
e
. Explico rapidamente o que é uma congruência: dizer que
significa que
divide
. Podemos reduzir os coeficientes da equação módulo
porque
é o coeficiente de
e assim eliminamos
da congruência (qualquer múltiplo de
some).
Reduzindo a equação módulo
obtemos
Agora simplificamos os coeficientes módulo
. Note que
então
, e
. Logo
Isto é equivalente a
Isso significa que existe um inteiro parâmetro
tal que
Aqui
e esta expressão representa todas as possibilidades de
compatíveis com a congruência.
Passo 3
Substituímos
na equação original para obter
em função de
e
. Começo substituindo e simplificando passo a passo:
Calculo o produto
:
Substituindo:
Agrupando os termos em
:
Agora fatoramos
onde aparece:
Isolando a parte com
:
Dividindo por
obtemos
Portanto
Passo 4
Concluímos que todas as soluções inteiras (sem ainda exigir positividade) estão dadas por
Explicação: a congruência nos deu a forma geral de
em termos de
e um parâmetro
; substituindo na equação original resolvemos linearmente para
. Como usamos uma congruência completa (módulo
) e resolvemos a equação, não perdemos soluções inteiras — portanto esta é a parametrização geral de todas as soluções inteiras.
Passo 5
Agora impomos as condições de positividade
. Substituímos as expressões e escrevemos desigualdades:
Estas duas desigualdades impõem limites inferiores em
dependendo de
. Podemos escrever em forma de teto (função ceil), mas aqui vamos raciocinar caso a caso para simplificar.
Passo 6
Analisamos os limites para
conforme o valor de
:
-
Se
: - Da primeira desigualdade
vem . - Da segunda
. - A condição mais forte é
. Logo para precisamos de .
- Da primeira desigualdade
-
Se
: - Da primeira,
já é satisfeita por qualquer (porque ). - Da segunda,
. Para temos ou , então também basta. - Portanto para todo
basta tomar .
- Da primeira,
Conclusão: os pares
admissíveis são
-
com (inteiro), - ou
com (inteiros).
Em particular não existem soluções com
, pois então alguma das desigualdades seria violada.
Passo 7
Resumo final e forma limpa da família de soluções positivas. Todas as soluções inteiras e positivas
da equação são obtidas tomando inteiros
conforme abaixo e usando as fórmulas:
Condições sobre os parâmetros:
Uma forma equivalente mais curta:
com a única proibição de
.
Passo 8
Alguns exemplos rápidos para fixar:
- Para
obtemos . Verificação: . - Para
obtemos . Verificação: .
Resposta
com
ou