Determinar todas as soluções inteiras e positivas das seguintes equações diofantinas lineares:
101 x-102 y+103 z=1

Passo 1

O enunciado pede: determinar todas as soluções inteiras e positivas da equação linear
101x-102y+103z=1.
Informações dadas:
\text{coeficientes: }101,\;-102,\;103,\qquad\text{termo independente: }1.
Objetivo: encontrar todos os tríos (x,y,z) com x,y,z inteiros positivos que satisfazem a equação.

Passo 2

Vamos usar congruências para reduzir a equação e obter uma relação entre y e z. Explico rapidamente o que é uma congruência: dizer que a\equiv b\pmod{m} significa que m divide a-b. Podemos reduzir os coeficientes da equação módulo 101 porque 101 é o coeficiente de x e assim eliminamos x da congruência (qualquer múltiplo de 101 some).
Reduzindo a equação módulo 101 obtemos
-102y+103z\equiv 1\pmod{101}.
Agora simplificamos os coeficientes módulo 101. Note que 102\equiv 1\pmod{101} então -102\equiv -1\pmod{101}, e 103\equiv 2\pmod{101}. Logo
-y+2z\equiv 1\pmod{101}.
Isto é equivalente a
y\equiv 2z-1\pmod{101}.
Isso significa que existe um inteiro parâmetro t tal que
y=2z-1+101t.
Aqui t\in\mathbb{Z} e esta expressão representa todas as possibilidades de y compatíveis com a congruência.

Passo 3

Substituímos y=2z-1+101t na equação original para obter x em função de z e t. Começo substituindo e simplificando passo a passo:
101x-102(2z-1+101t)+103z=1.
Calculo o produto -102(2z-1+101t):
-102(2z-1+101t)=-204z+102-102\cdot101t.
Substituindo:
101x+(-204z+102-102\cdot101t)+103z=1.
Agrupando os termos em z:
101x+(-204z+103z)+102-102\cdot101t=1.
101x-101z+102-102\cdot101t=1.
Agora fatoramos 101 onde aparece:
101\bigl(x-z-102t\bigr)+102=1.
Isolando a parte com 101:
101\bigl(x-z-102t\bigr)=1-102=-101.
Dividindo por 101 obtemos
x-z-102t=-1.
Portanto
x=z+102t-1.

Passo 4

Concluímos que todas as soluções inteiras (sem ainda exigir positividade) estão dadas por
x=z+102t-1,\qquad y=2z-1+101t,\qquad z\in\mathbb{Z},\\ t\in\mathbb{Z}.
Explicação: a congruência nos deu a forma geral de y em termos de z e um parâmetro t; substituindo na equação original resolvemos linearmente para x. Como usamos uma congruência completa (módulo 101) e resolvemos a equação, não perdemos soluções inteiras — portanto esta é a parametrização geral de todas as soluções inteiras.

Passo 5

Agora impomos as condições de positividade x>0,\;y>0,\;z>0. Substituímos as expressões e escrevemos desigualdades:
x=z+102t-1>0\quad\Longrightarrow\quad z+102t\ge 2,
y=2z-1+101t>0\quad\Longrightarrow\quad 2z-1+101t\ge 1\quad\Longrightarrow\quad 101t\ge 2-2z.
Estas duas desigualdades impõem limites inferiores em t dependendo de z. Podemos escrever em forma de teto (função ceil), mas aqui vamos raciocinar caso a caso para simplificar.

Passo 6

Analisamos os limites para t conforme o valor de z\ge 1:
  • Se z=1:
    • Da primeira desigualdade z+102t\ge 2 vem 1+102t\ge 2\Rightarrow 102t\ge 1\Rightarrow t\ge \lceil 1/102\rceil =1.
    • Da segunda 101t\ge 2-2z=0\Rightarrow t\ge 0.
    • A condição mais forte é t\ge 1. Logo para z=1 precisamos de t\ge 1.
  • Se z\ge 2:
    • Da primeira, z+102t\ge 2 já é satisfeita por qualquer t\ge 0 (porque z\ge2\Rightarrow z+102\cdot 0\ge2).
    • Da segunda, 101t\ge 2-2z. Para z\ge2 temos 2-2z\le -2 ou \le 0, então t\ge 0 também basta.
    • Portanto para todo z\ge 2 basta tomar t\ge 0.
Conclusão: os pares (z,t) admissíveis são
  • z=1 com t\ge 1 (inteiro),
  • ou z\ge 2 com t\ge 0 (inteiros).
Em particular não existem soluções com t<0, pois então alguma das desigualdades seria violada.

Passo 7

Resumo final e forma limpa da família de soluções positivas. Todas as soluções inteiras e positivas (x,y,z) da equação são obtidas tomando inteiros t,z conforme abaixo e usando as fórmulas:
x=z+102t-1,\qquad y=2z-1+101t.
Condições sobre os parâmetros:
\text{ou }(z=1\text{ e }t\in\mathbb{Z}_{\ge 1}),\qquad\text{ou }(z\in\mathbb{Z}_{\ge 2}\text{ e }t\in\mathbb{Z}_{\ge 0}).
Uma forma equivalente mais curta: t\in\mathbb{Z}_{\ge 0},\\ z\in\mathbb{Z}_{\ge 1} com a única proibição de (z,t)=(1,0).

Passo 8

Alguns exemplos rápidos para fixar:
  • Para t=0,z=2 obtemos x=2+0-1=1,\\ y=4-1+0=3. Verificação: 101\cdot1-102\cdot3+103\cdot2=101-306+206=1.
  • Para t=1,z=1 obtemos x=1+102-1=102,\\ y=2-1+101=102. Verificação: 101\cdot102-102\cdot102+103\cdot1=103.

Resposta

\boxed{(x,y,z)=\bigl(z+102t-1,\;2z-1+101t,\;z\bigr)}
com \;z=1,\\ t\in\mathbb{Z}_{\ge 1}\; ou \;z\in\mathbb{Z}_{\ge 2},\\ t\in\mathbb{Z}_{\ge 0}.

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