Resolva os seguintes sistemas de conguências lineares com três ECL, caaso tenha solução, aplicando o teorema chinês do resto sempre que for possível:

Passo 1

Beleza, o enunciado pede para resolver este sistema de congruências lineares usando o Teorema Chinês do Resto (CRT):
x equiv 28 pmod29, x equiv 30 pmod31, x equiv 10 pmod11
Conteúdo: sistemas de congruências e o CRT.
O que vamos precisar:
  1. confirmar que os módulos (29, 31, 11) são coprimos;
  2. calcular o produto total e os “pedacinhos” ;
  3. achar inversos de cada módulo (usando Euclides Estendido);
  4. somar tudo e reduzir módulo .

Passo 2

Primeiro, 29, 31 e 11 são primos entre si (cada par não tem fator comum além de 1), então o CRT vale. Definimos:
m1=29, m2=31, m3=11,
a1=28, a2=30, a3=10

Passo 3

Calcula-se o produto total
M=m1cdot m2cdot m3=29cdot31cdot11=9889
Agora cada pedaço
$$M_1=\frac{M}{m_1}=\frac{9889}{29}=341,\quad
M_2=\frac{9889}{31}=319,\quad
M_3=\frac{9889}{11}=899.$$

Passo 4

Precisamos do inverso de cada Mi,yiequiv1pmodmi módulo , ou seja tal que

Usando o Algoritmo de Euclides Estendido:
1) 341 mod 29 = 22 → inverter 22 mod 29:
– 29 = 1·22 +7
– 22 = 3·7 +1
Voltando, acha-se . Então .
2) 319 mod 31 = 9 → inverter 9 mod 31:
– 31=3·9+4
– 9=2·4+1
. Então .
3) 899 mod 11 = 8 → inverter 8 mod 11:
– 11=1·8+3
– 8=2·3+2
– 3=1·2+1
Chega em . Então .

Passo 5

Agora montamos a solução pelo CRT:
x ;equiv;sumi=1^3 ai,Mi,yi ;=;28cdot341cdot4;+;30cdot319cdot7;+;10cdot899cdot7
Calculando cada termo:
28cdot341cdot4 = 38192, 30cdot319cdot7 = 66990, 10cdot899cdot7 = 62930,
soma total 168112 bmod 9889 = 168112 - 17cdot9889 = -1 equiv 9888pmod9889 . Agora reduzimos módulo :

Resposta

boxedx equiv 9888 pmod9889

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