Resolva os seguintes sistemas de equações lineares usando os métodos eliminação de Gauss e decomposição LU.
c-x2+x3=-2 x1+3 x3=-4 2 x1+x2+3 x3=-4

Passo 1

Beleza, o enunciado pede para a gente resolver o sistema
-,x2+x3=-2, x1+3x3=-4, 2x1+x2+3x3=-4
usando (a) eliminação de Gauss e (b) decomposição LU.
Conteúdo: sistemas lineares, operações elementares de linha, matrizes triangulares e multiplicadores. Vamos precisar montar a matriz aumentada, zerar abaixo dos pivôs, depois fatorar a matriz em e usar e para achar .

Passo 2

Método de Gauss – montar a matriz aumentada
l[Amid br] = 0 & -1 & 1 &| & -2 1 & 0 & 3 &| & -4 2 & 1 & 3 &| & -4
Como o pivô na primeira linha (coluna de ) é zero, trocamos .

Passo 3

Após a troca 1 & 0 & 3 &| & -4 0 & -1 & 1 &| & -2 2 & 1 & 3 &| & -4 :
L3 to L3 - 2,L1
Agora pivô é 1 & 0 & 3 &| & -4 0 & -1 & 1 &| & -2 0 & 1 & -3 &| & 4 em . Para zerar abaixo, fazemos
(para anular o 2 na coluna 1). Resultado:

Passo 4

Agora pivô em L3 to L3 + L2 vale 1 & 0 & 3 &| & -4 0 & -1 & 1 &| & -2 0 & 0 & -2 &| & 2 . Para zerar o 1 em , fazemos
Fica

Passo 5

Matriz triangular pronta. Voltaíssima:
(3)
(2)
(1)
Logo pelo Gauss:

Passo 6

Decomposição LU – começamos com a mesma matriz de coeficientes, já trocada para não ter pivô zero:
A= 1 & 0 & 3 0 & -1 & 1 2 & 1 & 3 , b=-4-2-4
Queremos achar (inferior) e (superior) tais que .

Passo 7

Construindo m31=U31U11=21=2, L31=2 e m32=1-1=-1, L32=-1 pelas mesmas operações de Gauss:
  1. Pivô L= 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 2 & -1 & 1 , U= 1 & 0 & 3 0 & -1 & 1 0 & 0 & -2 . Multiplicador para linha 3:
Eliminação: .
2) Pivô . Multiplicador para linha 3:
Eliminação: .
No fim:

Passo 8

Agora resolvemos em duas etapas:
(i) y1=-4, y2=-2, 2y1 - y2 + y3 = -4implies y3=2 :
-2,x3=2implies x3=-1, -,x2 + x3 = -2implies x2=1, x1+3x3=-4implies x1=-1
Então .
(ii) :

Resposta

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