Resolva os seguintes sistemas de equações lineares usando os métodos eliminação de Gauss e decomposição LU.
Passo 1
Beleza, o enunciado pede para a gente resolver o sistema
usando (a) eliminação de Gauss e (b) decomposição LU.
Conteúdo: sistemas lineares, operações elementares de linha, matrizes triangulares e multiplicadores. Vamos precisar montar a matriz aumentada, zerar abaixo dos pivôs, depois fatorar a matriz em e usar
e
para achar
.
Conteúdo: sistemas lineares, operações elementares de linha, matrizes triangulares e multiplicadores. Vamos precisar montar a matriz aumentada, zerar abaixo dos pivôs, depois fatorar a matriz em
Passo 2
Método de Gauss – montar a matriz aumentada
Como o pivô na primeira linha (coluna de
) é zero, trocamos
.
Passo 3
Após a troca
1 & 0 & 3 &| & -4 0 & -1 & 1 &| & -2 2 & 1 & 3 &| & -4 :
Agora pivô é
1 & 0 & 3 &| & -4 0 & -1 & 1 &| & -2 0 & 1 & -3 &| & 4 em
. Para zerar abaixo, fazemos
(para anular o 2 na coluna 1). Resultado:
Passo 4
Agora pivô em
L3 to L3 + L2 vale
1 & 0 & 3 &| & -4 0 & -1 & 1 &| & -2 0 & 0 & -2 &| & 2 . Para zerar o 1 em
, fazemos
Fica
Passo 5
Matriz triangular pronta. Voltaíssima:
(3)
(2)
(1)
Logo pelo Gauss:
(3)
(2)
(1)
Logo pelo Gauss:
Passo 6
Decomposição LU – começamos com a mesma matriz de coeficientes, já trocada para não ter pivô zero:
Queremos achar
(inferior) e
(superior) tais que
.
Passo 7
Construindo
m31=U31U11=21=2, L31=2 e
m32=1-1=-1, L32=-1 pelas mesmas operações de Gauss:
- Pivô
. Multiplicador para linha 3:L= 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 2 & -1 & 1 , U= 1 & 0 & 3 0 & -1 & 1 0 & 0 & -2
Eliminação:
→
.
2) Pivô . Multiplicador para linha 3:
2) Pivô
Eliminação:
→
.
No fim:
No fim:
Passo 8
Agora resolvemos em duas etapas:
(i) y1=-4, y2=-2, 2y1 - y2 + y3 = -4implies y3=2 :
(i)
Então
.
(ii) :
(ii)