Resolva os seguintes sistemas lineares aplicando o método de Gauss
\left\{\begin{aligned} x_{1}-3 x_{2}+2 x_{3} & =11 \\\\ -2 x_{1}+8 x_{2}-1 x_{3} & =-15 \\\\ 4 x_{1}-6 x_{2}+5 x_{3} & =29\end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear abaixo e encontrar os valores de x_{1}, x_{2} e x_{3}:
\left\{\begin{aligned} x_{1}-3x_{2}+2x_{3} &= 11\\\\ -2x_{1}+8x_{2}-1x_{3} &= -15\\\\ 4x_{1}-6x_{2}+5x_{3} &= 29 \end{aligned}\right.
Informações dadas:
\begin{aligned} \text{Equação 1: }& x_{1}-3x_{2}+2x_{3}=11,\\\ \text{Equação 2: }& -2x_{1}+8x_{2}-x_{3}=-15,\\\ \text{Equação 3: }& 4x_{1}-6x_{2}+5x_{3}=29. \end{aligned}çãçãçã
O que se pede: os valores de x_{1}, x_{2} e x_{3} que satisfazem todas as três equações simultaneamente.

Passo 2

Vou começar montando a matriz aumentada do sistema. A matriz aumentada é formada pelas colunas dos coeficientes e a coluna dos termos independentes:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -3 & 2 & 11\\[4pt] -2 & 8 & -1 & -15\\[4pt] 4 & -6 & 5 & 29 \end{array}\right]
Cada linha corresponde a uma equação; o objetivo do método de Gauss é usar operações elementares nas linhas para transformar essa matriz numa forma triangular superior, de modo que possamos resolver por substituição.]

Passo 3

Lembrete rápido sobre operações permitidas (essas são as ferramentas do método de Gauss):
\begin{aligned} &\text{(i) trocar duas linhas;}\\\ &\text{(ii) multiplicar uma linha por um escalar não nulo;}\\\ &\text{(iii) somar a uma linha um múltiplo de outra linha.} \end{aligned}ãú
Vou usar principalmente a operação (iii) para zerar entradas abaixo dos pivôs, começando pelo pivô na primeira coluna, primeira linha.

Passo 4

Eliminação na coluna 1 (usar o pivô 1 da primeira linha para zerar entradas abaixo):
Aplicamos as operações
R_{2}\leftarrow R_{2}+2R_{1},\qquad R_{3}\leftarrow R_{3}-4R_{1}.
Calculemos cada nova linha:
Para R_{2}+2R_{1}:
\begin{aligned} -2+2\cdot 1&=0,\\\\ 8+2\cdot(-3)&=8-6=2,\\\\ -1+2\cdot 2&=-1+4=3,\\\\ -15+2\cdot 11&=-15+22=7. \end{aligned}
Para R_{3}-4R_{1}:
\begin{aligned} 4-4\cdot 1&=0,\\\\ -6-4\cdot(-3)&=-6+12=6,\\\\ 5-4\cdot 2&=5-8=-3,\\\\ 29-4\cdot 11&=29-44=-15. \end{aligned}
Matriz resultante:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -3 & 2 & 11\\[4pt] 0 & 2 & 3 & 7\\[4pt] 0 & 6 & -3 & -15 \end{array}\right]]

Passo 5

Agora vamos ao pivô da segunda coluna, segunda linha: 2. Usamos esse pivô para zerar a entrada abaixo (linha 3, coluna 2). A operação é
R_{3}\leftarrow R_{3}-3R_{2},
porque 6-3\cdot 2=0. Calculemos a nova R_{3}:
\begin{aligned} 0-3\cdot 0&=0,\\\\ 6-3\cdot 2&=0,\\\\ -3-3\cdot 3&=-3-9=-12,\\\\ -15-3\cdot 7&=-15-21=-36. \end{aligned}
A matriz triangular superior fica:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -3 & 2 & 11\\[4pt] 0 & 2 & 3 & 7\\[4pt] 0 & 0 & -12 & -36 \end{array}\right]]

Passo 6

Agora a terceira equação (linha 3) é simples: -12x_{3}=-36. Resolvo x_{3}:
-12x_{3}=-36 \implies x_{3}=\frac{-36}{-12}=3.
Explicando o raciocínio: isolamos x_{3} dividindo ambos os lados pelo coeficiente -12.

Passo 7

Substituição para encontrar x_{2}: use a segunda linha que agora é 2x_{2}+3x_{3}=7. Substituindo x_{3}=3:
2x_{2}+3\cdot 3=7 \implies 2x_{2}+9=7 \implies 2x_{2}=7-9=-2 \implies x_{2}=\frac{-2}{2}=-1.
Expliquei cada passo: multiplicação do valor conhecido, transposição do termo e divisão final.

Passo 8

Finalmente, encontro x_{1} usando a primeira equação x_{1}-3x_{2}+2x_{3}=11. Substituo x_{2}=-1 e x_{3}=3:
x_{1}-3(-1)+2\cdot 3=11 \implies x_{1}+3+6=11 \implies x_{1}+9=11 \implies x_{1}=11-9=2.

Passo 9

Verificação rápida (substituir (x_{1},x_{2},x_{3})=(2,-1,3) nas três equações):
\begin{aligned} \text{Eq 1: }& 2-3(-1)+2\cdot 3=2+3+6=11\quad(\text{OK}),\\\ \text{Eq 2: }& -2\cdot 2+8(-1)-1\cdot 3=-4-8-3=-15\quad(\text{OK}),\\\ \text{Eq 3: }& 4\cdot 2-6(-1)+5\cdot 3=8+6+15=29\quad(\text{OK}). \end{aligned}
Tudo confere, solução correta.

Resposta

x_{1}=2
x_{2}=-1
x_{3}=3

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