O enunciado pede para resolver o sistema linear e dá quatro equações com quatro incógnitas. Vou listar explicitamente as equações e todas as informações que temos, sem resolver ainda:
Explicação rápida (didática): cada linha corresponde a uma equação. Por exemplo, a primeira linha [1\\\ 1\\\ -1\\\ 2\mid6] representa 1\cdot x_{1}+1\cdot x_{2}-1\cdot x_{3}+2\cdot x_{4}=6.]
Passo 3
Relembrando as operações permitidas entre linhas (elas mantêm o conjunto de soluções):
trocar duas linhas;
multiplicar uma linha por um escalar não nulo;
somar a uma linha um múltiplo de outra linha.
Vou aplicar essas operações para transformar a matriz em uma forma triangular (eliminar abaixo dos pivôs). Vou explicar cada operação e por que faço.
Passo 4
Primeiro pivô: elemento na posição (1,1) que é 1. Uso-o para zerar as entradas abaixo na coluna 1 (linhas 2 e 4). Faço:
R2 <- R2 + R1 (pois R2 tem -1 na coluna 1),
R4 <- R4 - R1 (pois R4 tem 1 na coluna 1).
Observação didática: escolhi o pivô 1 na linha 1 porque já era conveniente (não precisei multiplicar a linha por algo). O objetivo é obter zeros abaixo do pivô.]
Passo 5
Segundo pivô: quero um pivô simples na coluna 2. Vejo que R3 tem entrada 1 na coluna 2, que é mais simples que o 2 em R2. Então troco R2 com R3 para ter pivô 1:
Interpretação didática: a presença de uma linha nula indica que as equações não são linearmente independentes — temos menos restrições do que incógnitas possivelmente, então é provável que haja infinitas soluções.]
Passo 8
Agora faço substituição regressiva (back substitution). Traduzo cada linha (não-nula) em equação:
R3: -3 x_{3} -3 x_{4} = -6.
Divido R3 por -3 (isso facilita a leitura):
x_{3} + x_{4} = 2.
Daqui isolamos x_{3} em função de x_{4}:
x_{3} = 2 - x_{4}.
Explicação didática: quando sobra uma variável livre (aqui x_{4}), introduzimos um parâmetro para ela. Vou chamar x_{4}=t, com t\in\mathbb{R}.
Interpretação didática final: como havia uma linha nula no final (dependência entre equações), o sistema tem infinitas soluções parametrizadas por t. Cada valor de t dá uma solução. Por exemplo, para t=0 obtemos a solução particular (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})=(9,-1,2,0).