Qual o número máximo de iterações necessárias para se atingir uma precisão de
o método da bisseção a partir de um intervalo inicial igual a
.
Passo 1
O enunciado pede: “Qual o número máximo de iterações necessárias para se atingir uma precisão de
com o método da bisseção a partir do intervalo inicial
?”\n
Informações dadas que vamos usar:
Informações dadas que vamos usar:
- Intervalo inicial:
. - Precisão desejada (erro máximo permitido):
(ou ). - Não foram dadas funções nem raízes; só precisamos do número máximo de iterações para garantir a precisão pedida usando a bisseção a partir desse intervalo.
Passo 2
Explicando o que precisamos usar do método da bisseção (passo a passo didático e intuitivo):\n
- A cada iteração do método da bisseção dividimos o intervalo atual ao meio, ou seja, o comprimento do intervalo é reduzido pela metade. Se o comprimento inicial é
, após iterações o comprimento do intervalo é
- Se usamos o ponto médio do intervalo final como aproximação da raiz, o erro absoluto dessa aproximação é, no máximo, metade do comprimento do intervalo final. Portanto o erro após
iterações satisfaz
Aqui cada símbolo significa:
é o comprimento do intervalo inicial,
é o número de iterações feitas, e o denominador
vem de dividir por dois novamente para passar do comprimento do intervalo ao erro máximo do ponto médio.
Passo 3
Agora aplicamos os números do enunciado na desigualdade que garante a precisão desejada. Queremos que
Como o intervalo inicial é
, temos
. Substituindo:
Isolando a potência de 2:
Passo 4
Agora calculamos
resolvendo a desigualdade envolvendo logaritmo. Tomando logaritmo na base 2 (ou natural, tanto faz), obtemos
Usando a mudança de base (ou calculadora mental com logs conhecidos),
Logo
Como
deve ser um número inteiro de iterações, tomamos o menor inteiro que satisfaça a desigualdade, ou seja, o teto (ceiling):
Passo 5
Vamos checar rapidamente para ficar seguro (sempre bom conferir):\n
- Para
, o erro máximo seria
que é maior que
, portanto insuficiente.\n
- Para
, o erro máximo é
que é menor que
. Portanto
iterações são suficientes e mínimas para garantir a precisão pedida.