Qual o número máximo de iterações necessárias para se atingir uma precisão de 1,0 \mathrm{E}-4 \mathrm{com} o método da bisseção a partir de um intervalo inicial igual a [1,5].

Passo 1

O enunciado pede: “Qual o número máximo de iterações necessárias para se atingir uma precisão de 1,0\mathrm{E}{-4} com o método da bisseção a partir do intervalo inicial [1,5] ?”\n
Informações dadas que vamos usar:
  • Intervalo inicial: [1,5].
  • Precisão desejada (erro máximo permitido): 10^{-4} (ou 1,0\mathrm{E}{-4}).
  • Não foram dadas funções nem raízes; só precisamos do número máximo de iterações para garantir a precisão pedida usando a bisseção a partir desse intervalo.

Passo 2

Explicando o que precisamos usar do método da bisseção (passo a passo didático e intuitivo):\n
  • A cada iteração do método da bisseção dividimos o intervalo atual ao meio, ou seja, o comprimento do intervalo é reduzido pela metade. Se o comprimento inicial é b-a, após n iterações o comprimento do intervalo é
\frac{b-a}{2^n}.
  • Se usamos o ponto médio do intervalo final como aproximação da raiz, o erro absoluto dessa aproximação é, no máximo, metade do comprimento do intervalo final. Portanto o erro após n iterações satisfaz
\text{erro} \le \frac{b-a}{2^{n+1}}.
Aqui cada símbolo significa: b-a é o comprimento do intervalo inicial, n é o número de iterações feitas, e o denominador 2^{n+1} vem de dividir por dois novamente para passar do comprimento do intervalo ao erro máximo do ponto médio.

Passo 3

Agora aplicamos os números do enunciado na desigualdade que garante a precisão desejada. Queremos que
\frac{b-a}{2^{n+1}} \le 10^{-4}.
Como o intervalo inicial é [1,5], temos b-a=5-1=4. Substituindo:
\frac{4}{2^{n+1}} \le 10^{-4}.
Isolando a potência de 2:
2^{n+1} \ge \frac{4}{10^{-4}} = 4\cdot 10^{4} = 40000.

Passo 4

Agora calculamos n resolvendo a desigualdade envolvendo logaritmo. Tomando logaritmo na base 2 (ou natural, tanto faz), obtemos
n+1 \ge \log_2(40000).
Usando a mudança de base (ou calculadora mental com logs conhecidos),
\log_2(40000)=\frac{\ln(40000)}{\ln 2}\approx 15{,}2877123795.
Logo
n \ge 15{,}2877 - 1 = 14{,}2877\ldots
Como n deve ser um número inteiro de iterações, tomamos o menor inteiro que satisfaça a desigualdade, ou seja, o teto (ceiling):
n = \left\lceil 14{,}2877\ldots \right\rceil = 15.

Passo 5

Vamos checar rapidamente para ficar seguro (sempre bom conferir):\n
  • Para n=14, o erro máximo seria
\frac{4}{2^{15}}=\frac{4}{32768}\approx 1{,}2207\cdot 10^{-4},
que é maior que 10^{-4}, portanto insuficiente.\n
  • Para n=15, o erro máximo é
\frac{4}{2^{16}}=\frac{4}{65536}\approx 6{,}1035\cdot 10^{-5},
que é menor que 10^{-4}. Portanto n=15 iterações são suficientes e mínimas para garantir a precisão pedida.

Resposta

15 iterações

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