Resolva os seguintes sistemas com e sem pivotação parcial, utilizando o método de Decomposição LU e considerando duas casas decimais.
a) l 2 x1+6 x2-3 x3=5 x1+3 x2+2 x3=9 4 x1-1 x2+9 x3=29

Passo 1

Beleza, temos o sistema
2x1 + 6x2 - 3x3 = 5, ;x1 + 3x2 + 2x3 = 9, 4x1 - x2 + 9x3 = 29
O conteúdo é Decomposição LU (método de Doolittle) e Pivotação Parcial. Vamos precisar de:
  1. entender a ideia de fatorar ;
  2. saber eliminar “embaixo” do pivô (Doolittle);
  3. saber quando e como trocar linhas (pivotação parcial);
  4. resolver (substituição direta) e depois (substituição regressiva).

Passo 2

Tentando LU sem pivotação (Doolittle puro):
  1. Matriz A= 2 & 6 & -3 1 & 3 & 2 4 & -1 & 9 , b=5929 :
ell21 = a21a11=12=0,5, ell31 = a31a11=42=2
  1. No passo u22=3 - 0,5cdot6 = 0 a gente define
  1. Atualiza linhas 2 e 3:
linha2 ← linha2 − 0,5·linha1
linha3 ← linha3 − 2·linha1
Isso produz um 0 na posição (2,1) e (3,1), mas no estágio seguinte o pivô vira
Ou seja, ficamos com divisão por zero e a fatoração LU sem trocar linhas não segue adiante.

Passo 3

Então precisamos de pivotação parcial. A regra: em cada coluna P1A= 4 & -1 & 9 1 & 3 & 2 2 & 6 & -3 , P1b=2995 a gente procura, das linhas linha2&>=tslinha2-0,25cdotlinha1 to(0,;3,25,;-0,25), linha3&>=tslinha3-0,5cdotlinha1 to(0,;6,5,;-7,5) , o maior valor absoluto e põe como pivô.
No passo 1 (coluna 1) o maior valor absoluto entre P2: b=2959 é u33 = -0,25 - 0,5cdot(-7,5) = -0,25 + 3,75 = 3,5 (linha 3).
Fazemos troca de linha 1 com linha 3 em L= 1 & 0 & 0 0,5 & 1 & 0 0,25 & 0,5 & 1 , U= 4 & -1 & 9 0 & 6,5 & -7,5 0 & 0 & 3,5 , e em :
Agora sim fazemos Doolittle:
.
Elimina embaixo de :
No passo 2 (coluna 2) agora pivô candidato em linhas 2 e 3 é entre e . Maior é (linha 3). Troca linha 2 ↔ linha 3 também em (só as entradas já calculadas em ) e em :
Depois do swap, as na coluna 1 viram
.
Agora pivô ,
.
Eliminação final na linha 3:
O resultado da fatoração é
e o rearranjado .

Passo 4

Resolvendo y1 = 29, y2 = 5 - 0,5,y1 = 5 - 0,5cdot29 = -9,5, y3 = 9 - 0,25,y1 - 0,5,y2 =9 - 0,25cdot29 - 0,5cdot(-9,5) =6,5 por substituição direta:

Passo 5

Resolvendo 3,5,x3 = 6,5 ;Longrightarrow; x3 = 6,53,5approx 1,86,[6pt] 6,5,x2 -7,5,x3 = -9,5 ;Longrightarrow; x2 = -9,5 +7,5cdot1,866,5approx 0,68,[6pt] 4,x1 - x2 +9,x3 = 29 ;Longrightarrow; x1 = 29 + x2 -9,x34approx 3,24 por substituição regressiva:

Resposta

x₁ ≈ 3,24, x₂ ≈ 0,68, x₃ ≈ 1,86.

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