Resolva os seguintes sistemas utilizando o método de Gauss-Jacobi com xi^0=0 forall i. Primeiramente, mostre que esse método realmente pode ser utilizado.
c) l5 x1+2 x2+x3=12 3 x1+8 x2-2 x3=-25 x1-2 x2+4 x3=6 com varepsilon=2,4

Passo 1

Beleza, o enunciado pede para resolver o sistema
5x1 + 2x2 + x3 = 12, 3x1 + 8x2 - 2x3 = -25, x1 - 2x2 + 4x3 = 6,
usando o método iterativo de Gauss–Jacobi com chute inicial e parada quando
, onde .
Conteúdo: métodos iterativos para sistemas lineares.
Vamos precisar de:
• Mostrar que a matriz é estritamente diagonalmente dominante (isso garante convergência).
• Montar as fórmulas de iteração de Gauss–Jacobi.
• Fazer iterações até atender o critério de parada.

Passo 2

Antes de partir para as contas, lembra do teorema:
Se a matriz do sistema é estritamente diagonalmente dominante por linhas, ou seja,
|aii| > sumjneq i |aij| forall,i,
então o método de Gauss–Jacobi converge.
Aqui a matriz
5&2&13&8&-21&-2&4.
Verificando cada linha:
• Linha 1: .
• Linha 2: .
• Linha 3: .
Logo, o sistema satisfaz a condição e podemos usar Gauss–Jacobi sem medo.

Passo 3

Vamos isolar cada x1 &= tfrac15l(12 - 2x2 - x3r), x2 &= tfrac18l(-25 - 3x1 + 2x3r), x3 &= tfrac14l(6 - x1 + 2x2r) na sua equação para montar as fórmulas de iteração:
x1^(k+1) = 12 - 2x2^(k) - x3^(k)5, x2^(k+1) = -25 - 3x1^(k) + 2x3^(k)8, x3^(k+1) = 6 - x1^(k) + 2x2^(k)4
Então a iteração de Gauss–Jacobi é, para :

Passo 4

Chute inicial x1^(1) &= 12 -2cdot0 -05 = 125=2,4, x2^(1) &= -25 -3cdot0 +2cdot08 = -258=-3,125, x3^(1) &= 6 -0 +2cdot04 = 64=1,5 .
Iteração 1 ( ):
Diferenças são .
O maior é , então não paramos ainda.

Passo 5

Iteração 2 ( x1^(2) &= 12 -2(-3,125) -1,55 =12 +6,25 -1,55 =16,755=3,35, x2^(2) &= -25 -3(2,4) +2(1,5)8 =-25 -7,2 +38 =-29,28=-3,65, x3^(2) &= 6 -2,4 +2(-3,125)4 =6 -2,4 -6,254 =-2,654=-0,6625 ):
Agora .
O maior é , e .
Como já está abaixo da tolerância, parámos aqui.

Resposta

A aproximação pelo método de Gauss–Jacobi com (x1,,x2,,x3)approx(3,35,,-3,65,,-0,6625) é

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