Trabalhando com arrendondamento para dois dígitos significativos em todas as operações, resolva o sistema linear abaixo utilizando o método de Fatoração LU, sem e com pivotamento parcial. Disserte sobre os resultados obtidos.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para resolver um sistema linear usando o método de Fatoração LU, tanto sem quanto com pivotamento parcial, tudo arredondado para dois dígitos significativos. O sistema que temos é:
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é a fatoração LU. Basicamente, ela decompõe uma matriz em duas matrizes: uma triangular inferior (L) e uma triangular superior (U), facilitando a resolução do sistema. Também vamos ver como o pivotamento parcial pode ajudar a tornar o processo mais estável numericamente.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema na forma de matriz:
Queremos fatorar a matriz $ A $ em $ L $ e $ U $ tal que $ A = LU $.
Passo 3
Começamos sem pivotamento parcial. Vamos encontrar $ L $ e $ U $.
A matriz $ L $ tem 1’s na diagonal e elementos abaixo, enquanto $ U $ terá os coeficientes superiores.
Multiplicando $ L $ por $ U $:
Igualando os elementos, temos:
Portanto,
Passo 4
Agora, resolvemos $ LU\mathbf{x} = \mathbf{b} $ em duas etapas:
Primeiro, resolvemos $ L\mathbf{y} = \mathbf{b} $:
Substituindo $ y_{1} = 2,5 $ na segunda equação:
Então, $ \mathbf{y} =
$.
Passo 5
Agora, resolvemos $ U\mathbf{x} = \mathbf{y} $:
Da segunda equação:
Substituindo $ x_{2} $ na primeira equação:
Então, a solução sem pivotamento é $ x_{1} \approx 1,27 $ e $ x_{2} \approx 1,18 $.
Passo 6
Agora, vamos fazer a fatoração LU com pivotamento parcial. Isso significa que, se necessário, vamos trocar as linhas para evitar zeros no pivô e melhorar a estabilidade.
No nosso sistema, o primeiro pivô é 1,5 e o segundo é 2. Não há necessidade de trocar linhas aqui porque o maior elemento absoluto na primeira coluna já está na posição (1,1). Portanto, o processo de fatoração será igual ao que fizemos sem pivotamento.
Passo 7
Com isso, as matrizes $ L $ e $ U $ com pivotamento parcial são:
E seguindo os mesmos passos de substituição, chegamos à mesma solução:
Resposta
A solução do sistema é aproximadamente $ x_{1} = 1,27 $ e $ x_{2} = 1,18 $, tanto sem quanto com pivotamento parcial.