Trabalhando com arrendondamento para dois dígitos significativos em todas as operações, resolva o sistema linear abaixo utilizando o método de Fatoração LU, sem e com pivotamento parcial. Disserte sobre os resultados obtidos.
l1,5 x1+0,5 x2=2,5 0,5 x1+2 x2=3

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para resolver um sistema linear usando o método de Fatoração LU, tanto sem quanto com pivotamento parcial, tudo arredondado para dois dígitos significativos. O sistema que temos é:
1,5,x1 + 0,5,x2 = 2,5 0,5,x1 + 2,x2 = 3
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é a fatoração LU. Basicamente, ela decompõe uma matriz em duas matrizes: uma triangular inferior (L) e uma triangular superior (U), facilitando a resolução do sistema. Também vamos ver como o pivotamento parcial pode ajudar a tornar o processo mais estável numericamente.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema na forma de matriz:
A = 1,5 & 0,5 0,5 & 2 , b = 2,5 3
Queremos fatorar a matriz $ A $ em $ L $ e $ U $ tal que $ A = LU $.

Passo 3

Começamos sem pivotamento parcial. Vamos encontrar $ L $ e $ U $.
A matriz $ L $ tem 1’s na diagonal e elementos abaixo, enquanto $ U $ terá os coeficientes superiores.
L
Multiplicando $ L $ por $ U $:
U
Igualando os elementos, temos:
L
Portanto,
U

Passo 4

Agora, resolvemos $ LU\mathbf{x} = \mathbf{b} $ em duas etapas:
Primeiro, resolvemos $ L\mathbf{y} = \mathbf{b} $:
LUx = b
Substituindo $ y_{1} = 2,5 $ na segunda equação:
Ly = b
Então, $ \mathbf{y} = y1 = 2,5 0,33,y1 + y2 = 3 $.

Passo 5

Agora, resolvemos $ U\mathbf{x} = \mathbf{y} $:
Ux = y
Da segunda equação:
1,5,x1 + 0,5,x2 = 2,5 1,84,x2 = 2,18
Substituindo $ x_{2} $ na primeira equação:
x2 = 2,181,84 approx 1,18
Então, a solução sem pivotamento é $ x_{1} \approx 1,27 $ e $ x_{2} \approx 1,18 $.

Passo 6

Agora, vamos fazer a fatoração LU com pivotamento parcial. Isso significa que, se necessário, vamos trocar as linhas para evitar zeros no pivô e melhorar a estabilidade.
No nosso sistema, o primeiro pivô é 1,5 e o segundo é 2. Não há necessidade de trocar linhas aqui porque o maior elemento absoluto na primeira coluna já está na posição (1,1). Portanto, o processo de fatoração será igual ao que fizemos sem pivotamento.

Passo 7

Com isso, as matrizes $ L $ e $ U $ com pivotamento parcial são:
L
E seguindo os mesmos passos de substituição, chegamos à mesma solução:
U

Resposta

A solução do sistema é aproximadamente $ x_{1} = 1,27 $ e $ x_{2} = 1,18 $, tanto sem quanto com pivotamento parcial.

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