Calcular o valor da integral integral0^pi sen^5(x) d x com erro <10^-4.

Passo 1

Beleza, o que a questão pede? Calcular a integral
com erro menor que integral0^pisen^5(x),dx . Isso é Cálculo de integrais definidas de funções trigonométricas. Para resolver, vamos usar uma técnica de “reduzir a potência” de transformando em polinômio de e depois fazer uma substituição . Não requer fórmulas prontas de redução, só manipular polinômios e aplicar a troca de variável.

Passo 2

Escrever como
Aí, fazemos a substituição

Passo 3

Agora mudamos também os limites:
  • quando integral0^pisen^5(x),dx =integralx=0^x=pil(1-cos^2(x)r)^2,sen(x),dx =integralu=1^u=-1(1-u^2)^2;(-,du) , integral1^-1(1-u^2)^2(-,du) =integral-1^1(1-u^2)^2,du ;
  • quando , .
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Trocando a ordem dos limites (e eliminando o sinal “−”):

Passo 4

Expandindo o polinômio:
(1-u^2)^2 = 1 -2u^2 + u^4
Então
integral-1^1(1-u^2)^2,du =integral-1^1l(1 -2u^2 + u^4r)du =l[u - tfrac23u^3 + tfrac15u^5r]-1^1
Avalia em 1 - tfrac23cdot1 + tfrac15cdot1 = 1 - tfrac23 + tfrac15 = 15 -10 +315 = 815 :
(-1) - tfrac23(-1)^3 + tfrac15(-1)^5 = -1 + tfrac23 - tfrac15 = -15 +10 -315 = -815
Em 815 - l(-tfrac815r) = 1615 :
A diferença é

Passo 5

Concluímos que a integral exata é
Como a gente quer um valor decimal com erro menor que integral0^pisen^5(x),dx = 1615 , basta arredondar 1,0667 . Por precaução, pegamos
que garante erro abaixo de .

Resposta

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