Resolva os seguintes sistemas com e sem pivotação parcial, utilizando o método de Eliminação de Gauss e considerando duas casas decimals.
ll-2 x1+3 x2+x3+5 x4 & =2 5 x1+x2-x3 & =-1 x1+6 x2+3 x3-x4 & =0 4 x1+5 x2+2 x3+8 x4 & =6

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um sistema de quatro equações lineares com quatro incógnitas ( x1, x2, x3, x4). O objetivo é resolver esse sistema usando o método de Eliminação de Gauss, tanto com pivotação parcial quanto sem pivotação parcial. Para isso, precisamos organizar as equações em uma matriz aumentada e realizar operações para chegar a uma forma triangular, facilitando a resolução das incógnitas.

Passo 2

Vamos escrever o sistema de equações na forma de matriz aumentada. Isso nos ajuda a visualizar melhor as operações que vamos realizar.
-2 & 3 & 1 & 5 & | & 2 5 & 1 & -1 & 0 & | & -1 1 & 6 & 3 & -1 & | & 0 4 & 5 & 2 & 8 & | & 6

Passo 3

Sem pivotação parcial: Vamos começar resolvendo o sistema sem usar pivotação parcial. O objetivo é transformar a matriz em uma forma triangular superior, onde abaixo da diagonal principal há apenas zeros.
Primeiro, vamos usar a primeira linha para eliminar o x1 das outras linhas.

Passo 4

Multiplicamos a primeira linha por -5-2 para eliminar o x1 da segunda linha:
L2 = L2 + (52) times L1
Fazendo essa operação:
5 + (52) times (-2) = 0 1 + (52) times 3 = 1 + 152 = 172 -1 + (52) times 1 = -1 + 52 = 32 0 + (52) times 5 = 0 + 252 = 252 -1 + (52) times 2 = -1 + 5 = 4
Então, a segunda linha atualizada fica:
0 172 32 252 | 4

Passo 5

Repete-se o processo para eliminar o x1 das linhas terceira e quarta.
Para a terceira linha:
L3 = L3 - (1-2) times L1 = L3 + 12 times L1
Calculando:
1 + (12) times (-2) = 0 6 + (12) times 3 = 6 + 32 = 152 3 + (12) times 1 = 3 + 12 = 72 -1 + (12) times 5 = -1 + 52 = 32 0 + (12) times 2 = 0 + 1 = 1
Terceira linha atualizada:
0 152 72 32 | 1
Para a quarta linha:
L4 = L4 - (4-2) times L1 = L4 + 2 times L1
Calculando:
4 + 2 times (-2) = 0 5 + 2 times 3 = 11 2 + 2 times 1 = 4 8 + 2 times 5 = 18 6 + 2 times 2 = 10
Quarta linha atualizada:
0 11 4 18 | 10

Passo 6

Agora, a matriz fica assim:
-2 & 3 & 1 & 5 & | & 2 0 & 172 & 32 & 252 & | & 4 0 & 152 & 72 & 32 & | & 1 0 & 11 & 4 & 18 & | & 10
Vamos agora focar na segunda coluna para eliminar o x2 das linhas terceira e quarta.

Passo 7

Para a terceira linha, usamos a segunda linha para eliminar x2:
L3 = L3 - (152172) times L2 = L3 - 1517 times L2
Calculando:
72 - 1517 times 32 = 72 - 4534 = 11934 32 - 1517 times 252 = 32 - 37534 = -32734 1 - 1517 times 4 = 1 - 6017 = -4317
Terceira linha atualizada:
0 0 11934 -32734 | -4317
Para a quarta linha:
L4 = L4 - (11172) times L2 = L4 - 2217 times L2
Calculando:
4 - 2217 times 32 = 4 - 3317 = 3517 18 - 2217 times 252 = 18 - 27517 = 3117 10 - 2217 times 4 = 10 - 8817 = 8217
Quarta linha atualizada:
0 0 3517 3117 | 8217

Passo 8

Agora, a matriz está assim:
-2 & 3 & 1 & 5 & | & 2 0 & 172 & 32 & 252 & | & 4 0 & 0 & 11934 & -32734 & | & -4317 0 & 0 & 3517 & 3117 & | & 8217
Vamos agora eliminar o x3 da quarta linha usando a terceira linha.

Passo 9

Multiplicamos a terceira linha por 3517 div 11934 = 3517 times 34119 = 70119 = 1017 e subtraímos da quarta linha:
L4 = L4 - 1017 times L3
Calculando:
3517 - 1017 times 11934 = 0 3117 - 1017 times (-32734) = 3117 + 3270578 = 3117 + 3270578 = 31 times 34 + 3270578 = 1054 + 3270578 = 4324578 = 7.48 8217 - 1017 times (-4317) = 8217 + 430289 = 82 times 17 + 430289 = 1394 + 430289 = 1824289 = 6.31
Quarta linha atualizada:
0 0 0 7.48 | 6.31

Passo 10

Agora, a matriz está em forma triangular superior:
-2 & 3 & 1 & 5 & | & 2 0 & 172 & 32 & 252 & | & 4 0 & 0 & 11934 & -32734 & | & -4317 0 & 0 & 0 & 7.48 & | & 6.31
Agora, podemos resolver as incógnitas começando da última equação para cima.

Passo 11

Começamos pela última equação:
7.48 x4 = 6.31 Rightarrow x4 = 6.317.48 approx 0.84

Passo 12

Substituímos x4 na terceira equação para encontrar x3:
11934 x3 - 32734 times 0.84 = -4317 Rightarrow 11934 x3 = -4317 + 32734 times 0.84 Rightarrow x3 approx -2.53 + 8.073.5 approx 1.51

Passo 13

Substituímos x3 e x4 na segunda equação para encontrar x2:
172 x2 + 32 times 1.51 + 252 times 0.84 = 4 Rightarrow 172 x2 + 2.27 + 10.5 = 4 Rightarrow 172 x2 = 4 - 12.77 Rightarrow x2 approx -8.778.5 approx -1.03

Passo 14

Finalmente, substituímos todas as incógnitas encontradas na primeira equação para encontrar x1:
-2 x1 + 3 times (-1.03) + 1.51 + 5 times 0.84 = 2 Rightarrow -2 x1 - 3.09 + 1.51 + 4.2 = 2 Rightarrow -2 x1 + 2.62 = 2 Rightarrow -2 x1 = -0.62 Rightarrow x1 = 0.31

Passo 15

Com pivotação parcial: Agora, vamos resolver o mesmo sistema, mas desta vez aplicando pivotação parcial. A pivotação parcial ajuda a evitar erros numéricos escolhendo o maior elemento absoluto da coluna como pivô.

Passo 16

Começamos novamente com a matriz aumentada:
-2 & 3 & 1 & 5 & | & 2 5 & 1 & -1 & 0 & | & -1 1 & 6 & 3 & -1 & | & 0 4 & 5 & 2 & 8 & | & 6
Na primeira coluna, o maior valor absoluto é 5 na segunda linha. Vamos trocar a primeira e a segunda linha.

Passo 17

Após a troca:
5 & 1 & -1 & 0 & | & -1 -2 & 3 & 1 & 5 & | & 2 1 & 6 & 3 & -1 & | & 0 4 & 5 & 2 & 8 & | & 6

Passo 18

Agora, usamos a primeira linha para eliminar x1 das outras linhas.
Para a segunda linha:
L2 = L2 - (-25) times L1 = L2 + 25 times L1
Calculando:
-2 + 25 times 5 = 0 3 + 25 times 1 = 3 + 0.4 = 3.4 1 + 25 times (-1) = 1 - 0.4 = 0.6 5 + 25 times 0 = 5 2 + 25 times (-1) = 2 - 0.4 = 1.6
Segunda linha atualizada:
0 3.4 0.6 5 | 1.6

Passo 19

Para a terceira linha:
L3 = L3 - (15) times L1
Calculando:
1 - 15 times 5 = 0 6 - 15 times 1 = 6 - 0.2 = 5.8 3 - 15 times (-1) = 3 + 0.2 = 3.2 -1 - 15 times 0 = -1 0 - 15 times (-1) = 0 + 0.2 = 0.2
Terceira linha atualizada:
0 5.8 3.2 -1 | 0.2
Para a quarta linha:
L4 = L4 - (45) times L1
Calculando:
4 - 45 times 5 = 0 5 - 45 times 1 = 5 - 0.8 = 4.2 2 - 45 times (-1) = 2 + 0.8 = 2.8 8 - 45 times 0 = 8 6 - 45 times (-1) = 6 + 0.8 = 6.8
Quarta linha atualizada:
0 4.2 2.8 8 | 6.8

Passo 20

A matriz agora fica:
5 & 1 & -1 & 0 & | & -1 0 & 3.4 & 0.6 & 5 & | & 1.6 0 & 5.8 & 3.2 & -1 & | & 0.2 0 & 4.2 & 2.8 & 8 & | & 6.8
Vamos agora focar na segunda coluna. O maior valor absoluto nessa coluna é 5.8 na terceira linha. Vamos trocar a segunda e a terceira linha.

Passo 21

Após a troca:
5 & 1 & -1 & 0 & | & -1 0 & 5.8 & 3.2 & -1 & | & 0.2 0 & 3.4 & 0.6 & 5 & | & 1.6 0 & 4.2 & 2.8 & 8 & | & 6.8

Passo 22

Agora, usamos a segunda linha para eliminar o x2 das outras linhas.
Para a terceira linha:
L3 = L3 - (3.45.8) times L2
Calculando:
3.4 - 3.45.8 times 5.8 = 0 0.6 - 3.45.8 times 3.2 approx 0.6 - 1.88 approx -1.28 5 - 3.45.8 times (-1) approx 5 + 0.59 approx 5.59 1.6 - 3.45.8 times 0.2 approx 1.6 - 0.12 approx 1.48
Terceira linha atualizada:
0 0 -1.28 5.59 | 1.48
Para a quarta linha:
L4 = L4 - (4.25.8) times L2
Calculando:
4.2 - 4.25.8 times 5.8 = 0 2.8 - 4.25.8 times 3.2 approx 2.8 - 2.32 approx 0.48 8 - 4.25.8 times (-1) approx 8 + 0.72 approx 8.72 6.8 - 4.25.8 times 0.2 approx 6.8 - 0.14 approx 6.66
Quarta linha atualizada:
0 0 0.48 8.72 | 6.66

Passo 23

Agora, a matriz está:
5 & 1 & -1 & 0 & | & -1 0 & 5.8 & 3.2 & -1 & | & 0.2 0 & 0 & -1.28 & 5.59 & | & 1.48 0 & 0 & 0.48 & 8.72 & | & 6.66
Vamos agora eliminar o x3 da quarta linha usando a terceira linha.

Passo 24

Multiplicamos a terceira linha por 0.48-1.28 = -0.375 e subtraímos da quarta linha:
L4 = L4 - (-0.375) times L3 = L4 + 0.375 times L3
Calculando:
0.48 + 0.375 times (-1.28) = 0.48 - 0.48 = 0 8.72 + 0.375 times 5.59 approx 8.72 + 2.096 = 10.816 6.66 + 0.375 times 1.48 approx 6.66 + 0.555 = 7.215
Quarta linha atualizada:
0 0 0 10.816 | 7.215

Passo 25

Agora, a matriz está em forma triangular superior com pivotação parcial:
5 & 1 & -1 & 0 & | & -1 0 & 5.8 & 3.2 & -1 & | & 0.2 0 & 0 & -1.28 & 5.59 & | & 1.48 0 & 0 & 0 & 10.816 & | & 7.215
Vamos resolver as incógnitas da última equação para cima.

Passo 26

Começamos pela última equação:
10.816 x4 = 7.215 Rightarrow x4 = 7.21510.816 approx 0.67

Passo 27

Substituímos x4 na terceira equação para encontrar x3:
-1.28 x3 + 5.59 times 0.67 = 1.48 Rightarrow -1.28 x3 = 1.48 - 3.75 Rightarrow -1.28 x3 = -2.27 Rightarrow x3 = -2.27-1.28 approx 1.77

Passo 28

Substituímos x3 e x4 na segunda equação para encontrar x2:
5.8 x2 + 3.2 times 1.77 - 1 times 0.67 = 0.2 Rightarrow 5.8 x2 + 5.66 - 0.67 = 0.2 Rightarrow 5.8 x2 = 0.2 - 4.99 Rightarrow x2 approx -4.795.8 approx -0.83

Passo 29

Finalmente, substituímos todas as incógnitas encontradas na primeira equação para encontrar x1:
5 x1 + 1 times (-0.83) -1 times 1.77 + 0 times 0.67 = -1 Rightarrow 5 x1 -0.83 -1.77 = -1 Rightarrow 5 x1 -2.6 = -1 Rightarrow 5 x1 = 1.6 Rightarrow x1 = 1.65 = 0.32

Resposta

A solução do sistema utilizando o método de Eliminação de Gauss com pivotação parcial é:
x1 approx 0.32 x2 approx -0.83 x3 approx 1.77 x4 approx 0.67

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