Seja f(x) e g(x) funções de uma variável, Tabela 1.
Determinar a equação da reta que passa por dois pontos complexos distintos da interseção entre as funções f(x) e g(x), considerando um erro menor que 10^-5. Os pontos complexos calculados devem possuir obrigatoriamente o valor absoluto da parte imaginária maior que 10^-2. Apresentar os desenvolvimentos teórico e de cálculo. (Valor: 2,0).
Tabela 1: Relação das Funções f(x) e g(x)
Equipes Funções
01 f(x)=-12 cos (x^2)+e^x ; g(x)=2 x+x^3
02 f(x)=(1-2 x^3) cos (x) ; g(x)=2+2 x^2-x^3
03 f(x)=8 sen(x^2)+e^-x ; g(x)=1-2 x+x^3
04 f(x)=e^-x cos (-x+2) ; g(x)=e^x-2 x^2
05 f(x)=e^-x-sen(x)+x^2 ; g(x)=3-x^2+x^3
06 f(x)=-e^x+sen^2(x)-x^3 ; g(x)=-9+x^2-x^3
07 f(x)=-(x-2) e^-x+x ; g(x)=14+x^3-x^4
08 f(x)=x^2 cos (x)-x e^-x / 2+x^2 ; g(x)=3-x^2+0,3 x^3
09 f(x)=x^2 sen(x)-x e^-x / 2 ; g(x)=3-3 x+x^3
10 f(x)=x^2 cos (x)+3 x^2-x^3 ; g(x)=-x^2+x e^-x / 3
A atividade deve ser enviada para o e-mail lurimar@ifba.edu.br, em arquivo único no formato: nomes_dos_alunos_02.pdf, com no máximo: 3MB e cinco páginas, manuscrito pelos autores em tinta azul, com fundo branco, em tamanho A4, com orientação de retrato, seguindo as normas de margens da ABNT, contendo assinatura dos autores em todas as folhas, com folha de rosto contendo as questões e os nomes dos membros da equipe, na data indicada. O e-mail deverá conter o seguinte assunto: MAT215 - Atividade 02 - T01. A relação das equipes estão no arquivo equipes_cal_num_T01.pdf, localizado na pasta principal na área da disciplina no Teams.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão tá pedindo. Temos duas funções, e , e queremos encontrar a equação da reta que passa por dois pontos de interseção complexos distintos dessas funções. Esses pontos devem ter a parte imaginária maior que e o erro na calculação deve ser menor que . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de funções, resolução de equações para encontrar pontos de interseção, números complexos e equações de retas.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma das equipes da tabela. Vamos supor que a gente está trabalhando com a Equipe 01, cujas funções são:
f(x) = -12 cos(x^2) + e^x
g(x) = 2x + x^3

Passo 3

Nosso objetivo é encontrar os pontos onde -12 cos(x^2) + e^x = 2x + x^3 e se intersectam, ou seja, onde . Isso significa que vamos resolver a seguinte equação:
Essa equação pode não ter soluções reais simples, então vamos considerar soluções complexas.

Passo 4

Para resolver essa equação, vamos rearranjá-la para igualar a zero:
-12 cos(x^2) + e^x - 2x - x^3 = 0
Vamos chamar essa expressão de h(x) = -12 cos(x^2) + e^x - 2x - x^3 :
Agora, precisamos encontrar os valores de que fazem .

Passo 5

Como essa equação não é fácil de resolver analiticamente, vamos usar métodos numéricos para encontrar as raízes complexas. Um método comum é o Método de Newton-Raphson, que é iterativo e pode ser adaptado para números complexos.

Passo 6

Implementaremos o Método de Newton-Raphson para encontrar as raízes complexas de xn+1 = xn - h(xn)h'(xn) . A fórmula geral do método é:
Onde é a derivada de .

Passo 7

Vamos calcular a derivada de h'(x) = ddx ( -12 cos(x^2) + e^x - 2x - x^3 ) :
h'(x) = 24x sin(x^2) + e^x - 2 - 3x^2

Passo 8

Com e definidos, escolhemos um palpite inicial no plano complexo. Por exemplo, podemos começar com , onde é a unidade imaginária.

Passo 9

Aplicamos o Método de Newton-Raphson iterativamente até que a diferença entre e seja menor que . Repetimos o processo para encontrar duas raízes complexas distintas com a parte imaginária maior que .

Passo 10

Supondo que encontramos duas raízes complexas e , com e , onde e , queremos encontrar a equação da reta que passa por esses dois pontos.

Passo 11

A equação da reta que passa por dois pontos y - y1 = m (x - x1) e m = y2 - y1x2 - x1 é dada por:
Onde é o coeficiente angular:
No nosso caso, como estamos trabalhando no plano complexo, tratamos e como componentes reais e imaginárias.

Passo 12

Por fim, substituímos os valores encontrados de na equação da reta para obter a equação desejada com erro menor que .

Resposta

A equação da reta que passa pelos dois pontos de interseção complexos distintos das funções y = m x + b e com as condições especificadas é:
Onde e são calculados através das coordenadas dos pontos encontrados, assegurando que o erro na determinação seja menor que e que a parte imaginária dos pontos seja maior que .

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