Vou primeiro organizar claramente o que o enunciado nos deu e como vou interpretá‑lo (agrupamento das equações em sistemas quadrados). Os conjuntos de equações serão tratados como três sistemas independentes (não há indicação explícita de agrupamento no enunciado, então escolhi uma partição natural que forma matrizes quadradas e usa todas as equações):
Sistema I (3×3):\begin{cases} x - y + 0z = 2,\\[4pt] 2x + 2y + 3z = -1,\\[4pt] -x + 3y + 2z = 4. \end{cases}(As três primeiras linhas do enunciado.)
Sistema II (4×4):\begin{cases} 2x + y + 0z + 0w = 0,\\[4pt] -x + 3y + 3z + 0w = 5,\\[4pt] 2x - 2y + z + 4w = -2,\\[4pt] -2x + 2y + 2z + 5w = 6. \end{cases}(As equações seguintes, formando um sistema em x,y,z,w\).)
- Sistema III (3×3, com decimais que interpreto como frações usuais):
\[\begin{cases} \tfrac{1}{3}x + \tfrac{1}{2}y - \tfrac{1}{4}z = 1,\\[4pt] \tfrac{1}{3}x + \tfrac{2}{3}y + \tfrac{3}{8}z = 2,\\[4pt] \tfrac{2}{5}x - \tfrac{2}{3}y + \tfrac{5}{8}z = -3. \end{cases}
O objetivo para cada sistema: usar fatoração A=LU\] (Doolittle, \(L com diagonal de uns) para resolver Ax=b. Em cada caso vou:
decompor A em L e U, mostrando os cálculos passo a passo;
resolver Ly=b por substituição direta (forward);
resolver Ux=y por substituição regressiva (backward).]
Passo 2
Breve explicação do método LU (para eu e você lembrarem os passos, linguagem simples).
Queremos escrever A=L U, onde L é triangular inferior com 1 na diagonal e U é triangular superior.
Se temos Ax=b e A=LU, então LUx=b. Primeiro resolvemos Ly=b para y (substituição direta), depois Ux=y para x (substituição regressiva).
No método de Doolittle, construímos U linha a linha e L coluna a coluna: para a primeira coluna de L, L_{i1}=A_{i1}/U_{11}. Depois atualizamos linhas de A para obter submatrizes e repetimos. Sempre explicarei o cálculo de cada multiplicador L_{ij} e cada elemento U_{ij}.
Defino u_{11}=a_{11}=1. Então para os multiplicadores na coluna 1:L_{21}=\frac{a_{21}}{u_{11}}=\frac{2}{1}=2,\qquad L_{31}=\frac{a_{31}}{u_{11}}=\frac{-1}{1}=-1.
Atualizo as linhas 2 e 3: \text{linha2}\leftarrow\text{linha2}-L_{21}\cdot\text{linha1} e \text{linha3}\leftarrow\text{linha3}-L_{31}\cdot\text{linha1}.
Cálculo:\text{linha2}'=[2,2,3]-2[1,-1,0]=[0,4,3],
\text{linha3}'=[-1,3,2]-(-1)[1,-1,0]=[0,4,2].
Agora u_{22} é a entrada (2,2) atualizada: u_{22}=4. O multiplicadorL_{32}=\frac{\text{linha3}'_{2}}{u_{22}}=\frac{4}{4}=1.
\begin{cases} \tfrac{227}{40} z = \tfrac{17}{5}\quad\Rightarrow\quad z = \dfrac{17/5}{227/40}=\dfrac{136}{227},\\[8pt] \tfrac{1}{6} y + \tfrac{5}{8} z = 1\quad\Rightarrow\quad y = \dfrac{1 - \tfrac{5}{8}z}{1/6} = 6\Big(1-\tfrac{5}{8}\cdot\dfrac{136}{227}\Big)=\dfrac{852}{227},\\[8pt] \tfrac{1}{3} x + \tfrac{1}{2} y - \tfrac{1}{4} z = 1\quad\Rightarrow\quad x = 3\Big(1 - \tfrac{1}{2}y + \tfrac{1}{4}z\Big) = -\dfrac{495}{227}. \end{cases}