Resolva os seguintes sistemas usando a fatoração LU:
\mathrm{x}-\mathrm{y}=2
2 \mathrm{x}+2 \mathrm{y}+3 \mathrm{z}=-1
-\mathrm{x}+3 \mathrm{y}+2 \mathrm{z}=4
2 \mathrm{x}+\mathrm{y}=0
-\mathrm{x}+3 \mathrm{y}+3 \mathrm{z}=5
2 x-2 y+z+4 w=-2
-2 x+2 y+2 z+5 w=6
0,333 x+0,5 y-0,25 z=1
0,333 x+0,667 y+0,375 z=2
0,4 x-0,667 y+0,625 z=-3

Passo 1

Vou primeiro organizar claramente o que o enunciado nos deu e como vou interpretá‑lo (agrupamento das equações em sistemas quadrados). Os conjuntos de equações serão tratados como três sistemas independentes (não há indicação explícita de agrupamento no enunciado, então escolhi uma partição natural que forma matrizes quadradas e usa todas as equações):
  • Sistema I (3×3): \begin{cases} x - y + 0z = 2,\\[4pt] 2x + 2y + 3z = -1,\\[4pt] -x + 3y + 2z = 4. \end{cases}(As três primeiras linhas do enunciado.)
  • Sistema II (4×4): \begin{cases} 2x + y + 0z + 0w = 0,\\[4pt] -x + 3y + 3z + 0w = 5,\\[4pt] 2x - 2y + z + 4w = -2,\\[4pt] -2x + 2y + 2z + 5w = 6. \end{cases}(As equações seguintes, formando um sistema em x,y,z,w\).) - Sistema III (3×3, com decimais que interpreto como frações usuais): \[\begin{cases} \tfrac{1}{3}x + \tfrac{1}{2}y - \tfrac{1}{4}z = 1,\\[4pt] \tfrac{1}{3}x + \tfrac{2}{3}y + \tfrac{3}{8}z = 2,\\[4pt] \tfrac{2}{5}x - \tfrac{2}{3}y + \tfrac{5}{8}z = -3. \end{cases}
O objetivo para cada sistema: usar fatoração A=LU\] (Doolittle, \(L com diagonal de uns) para resolver Ax=b. Em cada caso vou:
  1. decompor A em L e U, mostrando os cálculos passo a passo;
  2. resolver Ly=b por substituição direta (forward);
  3. resolver Ux=y por substituição regressiva (backward).]

Passo 2

Breve explicação do método LU (para eu e você lembrarem os passos, linguagem simples).
  • Queremos escrever A=L U, onde L é triangular inferior com 1 na diagonal e U é triangular superior.
  • Se temos Ax=b e A=LU, então LUx=b. Primeiro resolvemos Ly=b para y (substituição direta), depois Ux=y para x (substituição regressiva).
  • No método de Doolittle, construímos U linha a linha e L coluna a coluna: para a primeira coluna de L, L_{i1}=A_{i1}/U_{11}. Depois atualizamos linhas de A para obter submatrizes e repetimos. Sempre explicarei o cálculo de cada multiplicador L_{ij} e cada elemento U_{ij}.
Vou aplicar isso agora ao Sistema I.

Passo 3

Sistema I: matriz e vetor:
A=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0\\[4pt] 2 & 2 & 3\\[4pt] -1 & 3 & 2 \end{pmatrix},\qquad b=\begin{pmatrix}2\\[4pt]-1\\[4pt]4\end{pmatrix}.
Iniciando Doolittle:
  • Defino u_{11}=a_{11}=1. Então para os multiplicadores na coluna 1: L_{21}=\frac{a_{21}}{u_{11}}=\frac{2}{1}=2,\qquad L_{31}=\frac{a_{31}}{u_{11}}=\frac{-1}{1}=-1.
  • Atualizo as linhas 2 e 3: \text{linha2}\leftarrow\text{linha2}-L_{21}\cdot\text{linha1} e \text{linha3}\leftarrow\text{linha3}-L_{31}\cdot\text{linha1}.
    Cálculo: \text{linha2}'=[2,2,3]-2[1,-1,0]=[0,4,3],
\text{linha3}'=[-1,3,2]-(-1)[1,-1,0]=[0,4,2].
  • Agora u_{22} é a entrada (2,2) atualizada: u_{22}=4. O multiplicador L_{32}=\frac{\text{linha3}'_{2}}{u_{22}}=\frac{4}{4}=1.
  • Finalmente u_{23}= entrada (2,3) atualizada =3 e u_{33}= entrada (3,3) atualizada: u_{33}=\text{linha3}'_{3}-L_{32}\cdot u_{23}=2-1\cdot3=-1.
Portanto
L=\begin{pmatrix}1&0&0\\[4pt]2&1&0\\[4pt]-1&1&1\end{pmatrix},\qquad U=\begin{pmatrix}1&-1&0\\[4pt]0&4&3\\[4pt]0&0&-1\end{pmatrix}.]

Passo 4

Agora resolver Ly=b (substituição direta):
\begin{pmatrix}1&0&0\\[4pt]2&1&0\\[4pt]-1&1&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}y_1\\[4pt]y_2\\[4pt]y_3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2\\[4pt]-1\\[4pt]4\end{pmatrix}.
Cálculos:
y_1=2,
y_2=-1-2\cdot y_1=-1-2\cdot2=-5,
y_3=4-(-1)\cdot y_1 -1\cdot y_2 =4+2+5=11.]

Passo 5

Agora resolver Ux=y (substituição regressiva):
\begin{pmatrix}1&-1&0\\[4pt]0&4&3\\[4pt]0&0&-1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\[4pt]y\\[4pt]z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2\\[4pt]-5\\[4pt]11\end{pmatrix}.
Cálculos de trás para frente:
z=\frac{11}{-1}=-11,
y=\frac{-5-3z}{4}=\frac{-5-3(-11)}{4}=\frac{-5+33}{4}=\frac{28}{4}=7,
x=2-(-1)\cdot y -0\cdot z = 2 +7 =9.
Solução do Sistema I: x=9,\\ y=7,\\ z=-11.]

Passo 6

Passo para o Sistema II (4×4). Matriz e vetor:
A=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 & 0\\[4pt] -1 & 3 & 3 & 0\\[4pt] 2 & -2 & 1 & 4\\[4pt] -2 & 2 & 2 & 5 \end{pmatrix},\qquad b=\begin{pmatrix}0\\[4pt]5\\[4pt]-2\\[4pt]6\end{pmatrix}.
Faço Doolittle passo a passo.
Primeiro pivô u_{11}=2. Multiplicadores coluna 1:
L_{21}=\frac{-1}{2}=-\tfrac{1}{2},\quad L_{31}=\frac{2}{2}=1,\quad L_{41}=\frac{-2}{2}=-1.
Atualizo linhas 2–4:
\text{linha2}'=[-1,3,3,0]-(-\tfrac12)[2,1,0,0]=[0,3{,}5,3,0] \text{ (ou melhor }[0,3{,}5,3,0]\text{)}.
Vou colocar os valores exatos: 3 +\tfrac12 = 3{,}5 = \tfrac{7}{2}. Então
\text{linha2}'=[0,\tfrac{7}{2},3,0].
Linha 3:
\text{linha3}'=[2,-2,1,4]-1[2,1,0,0]=[0,-3,1,4].
Linha 4:
\text{linha4}'=[-2,2,2,5]-(-1)[2,1,0,0]=[0,3,2,5].]

Passo 7

Continuando (segundo pivô):
u_{22}=\tfrac{7}{2},\qquad L_{32}=\frac{-3}{7/2}=-\frac{3}{3{,}5}=-\frac{6}{7},\qquad L_{42}=\frac{3}{7/2}=\frac{6}{7}.
Atualizo linha3’’ e linha4’’:
\text{linha3}''=\text{linha3}'-L_{32}\cdot\text{linha2}'=[0,-3,1,4]-\Big(-\tfrac{6}{7}\Big)[0,\tfrac{7}{2},3,0]=[0,0,\tfrac{25}{7},4].
\text{linha4}''=[0,3,2,5]-\tfrac{6}{7}[0,\tfrac{7}{2},3,0]=[0,0,-\tfrac{4}{7},5].
Terceiro pivô:
u_{33}=\tfrac{25}{7},\qquad L_{43}=\frac{-4/7}{25/7}=-\frac{4}{25}.
Atualizo linha4 final:
\text{linha4}'''=[0,0,0,5-\Big(-\tfrac{4}{25}\Big)\cdot 4]=[0,0,0,\;5+\tfrac{16}{25}]=\Big[0,0,0,\tfrac{141}{25}\Big].
Portanto as matrizes resultantes:
L=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\[4pt] -\tfrac{1}{2} & 1 & 0 & 0\\[4pt] 1 & -\tfrac{6}{7} & 1 & 0\\[4pt] -1 & \tfrac{6}{7} & -\tfrac{4}{25} & 1 \end{pmatrix},\qquad U=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & \tfrac{7}{2} & 3 & 0\\[4pt] 0 & 0 & \tfrac{25}{7} & 4\\[4pt] 0 & 0 & 0 & \tfrac{141}{25} \end{pmatrix}.]

Passo 8

Resolver Ly=b\). Escrevendo as equações: \[\begin{cases} y_1=0,\\[4pt] y_2=5 - L_{21}y_1 =5 - (-\tfrac{1}{2})\cdot 0 =5,\\[4pt] y_3=-2 - L_{31}y_1 - L_{32}y_2 = -2 -1\cdot 0 -(-\tfrac{6}{7})\cdot5 = -2 + \tfrac{30}{7} = \tfrac{16}{7},\\[4pt] y_4=6 - L_{41}y_1 - L_{42}y_2 - L_{43}y_3 =6 - (-1)\cdot0 - \tfrac{6}{7}\cdot5 -\Big(-\tfrac{4}{25}\Big)\cdot \tfrac{16}{7}. \end{cases}
Compute (y_4] com frações exatas:
6 - \tfrac{30}{7} + \tfrac{64}{175} = \tfrac{42}{7}-\tfrac{30}{7}+\tfrac{64}{175} = \tfrac{12}{7}+\tfrac{64}{175}=\tfrac{300}{175}+\tfrac{64}{175}=\tfrac{364}{175}.]

Passo 9

Resolver Ux=y por substituição regressiva:
\begin{cases} \tfrac{141}{25}x_4 = y_4=\tfrac{364}{175}\quad\Rightarrow\quad x_4=\dfrac{364/175}{141/25}=\dfrac{52}{141},\\[8pt] \tfrac{25}{7}x_3 + 4 x_4 = y_3=\tfrac{16}{7}\quad\Rightarrow\quad x_3=\dfrac{\tfrac{16}{7}-4\cdot\dfrac{52}{141}}{25/7}=\dfrac{32}{141},\\[8pt] \tfrac{7}{2}x_2 + 3 x_3 = y_2=5\quad\Rightarrow\quad x_2=\dfrac{5-3\cdot\dfrac{32}{141}}{7/2}=\dfrac{58}{47},\\[8pt] 2x_1 + 1\cdot x_2 = y_1=0\quad\Rightarrow\quad x_1 = -\dfrac{x_2}{2} = -\dfrac{29}{47}. \end{cases}
Resultado do Sistema II (valores exatos):
x=-\dfrac{29}{47},\quad y=\dfrac{58}{47},\quad z=\dfrac{32}{141},\quad w=\dfrac{52}{141}.]

Passo 10

Agora Sistema III (decimais interpretados como frações). Reescrevo:
A=\begin{pmatrix} \tfrac{1}{3} & \tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{4}\\[6pt] \tfrac{1}{3} & \tfrac{2}{3} & \tfrac{3}{8}\\[6pt] \tfrac{2}{5} & -\tfrac{2}{3} & \tfrac{5}{8} \end{pmatrix},\qquad b=\begin{pmatrix}1\\[4pt]2\\[4pt]-3\end{pmatrix}.
Doolittle passo a passo:
  • u_{11}=\tfrac{1}{3}.
  • Multiplicadores coluna 1: L_{21}=\frac{1/3}{1/3}=1,\qquad L_{31}=\frac{2/5}{1/3}=\frac{6}{5}.
  • Atualizo linha 2: [1/3,2/3,3/8]-1\cdot[1/3,1/2,-1/4]=[0,\tfrac{1}{6},\tfrac{5}{8}].
  • Atualizo linha 3: [2/5,-2/3,5/8]-\tfrac{6}{5}[1/3,1/2,-1/4]=[0,-\tfrac{19}{15},\tfrac{37}{40}].
  • u_{22}=\tfrac{1}{6}. Multiplicador: L_{32}=\frac{-19/15}{1/6}=-\frac{19}{15}\cdot 6=-\frac{38}{5}.
  • Atualizo entrada (3,3): u_{33}=\tfrac{37}{40}-L_{32}\cdot \tfrac{5}{8}=\tfrac{37}{40}-\Big(-\tfrac{38}{5}\Big)\cdot\tfrac{5}{8} =\tfrac{37}{40}+\tfrac{19}{4}=\tfrac{227}{40}.
Portanto
L=\begin{pmatrix}1&0&0\\[4pt]1&1&0\\[4pt]\tfrac{6}{5}&-\tfrac{38}{5}&1\end{pmatrix},\qquad U=\begin{pmatrix}\tfrac{1}{3}&\tfrac{1}{2}&-\tfrac{1}{4}\\[4pt]0&\tfrac{1}{6}&\tfrac{5}{8}\\[4pt]0&0&\tfrac{227}{40}\end{pmatrix}.]

Passo 11

Resolver Ly=b:
\begin{cases} y_1=1,\\[4pt] y_2=2 - 1\cdot y_1 = 1,\\[4pt] y_3=-3 - \tfrac{6}{5}\cdot y_1 -\Big(-\tfrac{38}{5}\Big)\cdot y_2 = -3 - \tfrac{6}{5} + \tfrac{38}{5} = \tfrac{17}{5}. \end{cases}]

Passo 12

Resolver Ux=y (regressivo):
\begin{cases} \tfrac{227}{40} z = \tfrac{17}{5}\quad\Rightarrow\quad z = \dfrac{17/5}{227/40}=\dfrac{136}{227},\\[8pt] \tfrac{1}{6} y + \tfrac{5}{8} z = 1\quad\Rightarrow\quad y = \dfrac{1 - \tfrac{5}{8}z}{1/6} = 6\Big(1-\tfrac{5}{8}\cdot\dfrac{136}{227}\Big)=\dfrac{852}{227},\\[8pt] \tfrac{1}{3} x + \tfrac{1}{2} y - \tfrac{1}{4} z = 1\quad\Rightarrow\quad x = 3\Big(1 - \tfrac{1}{2}y + \tfrac{1}{4}z\Big) = -\dfrac{495}{227}. \end{cases}
Solução exata do Sistema III:
x=-\dfrac{495}{227},\quad y=\dfrac{852}{227},\quad z=\dfrac{136}{227}.]

Resposta

Sistema I: x=9,\\ y=7,\\ z=-11
Sistema II: x=-\dfrac{29}{47},\\ y=\dfrac{58}{47},\\ z=\dfrac{32}{141},\\ w=\dfrac{52}{141}
Sistema III: x=-\dfrac{495}{227},\\ y=\dfrac{852}{227},\\ z=\dfrac{136}{227}

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