Resolva os seguintes sistemas, usando o método de Gauss
\left\{\begin{array}{l}x+y+z=6 \\\\ 2 x-y+z=3 \\\ x+2 y-z=3\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado fornece o sistema linear
\begin{cases} x+y+z=6,\\[4pt] 2x-y+z=3,\\[4pt] x+2y-z=3. \end{cases}
O que se pede é resolver esse sistema, isto é, encontrar os valores de x, y e z que satisfazem todas as três equações simultaneamente. As informações relevantes são exatamente as três equações acima.]

Passo 2

Vou usar o método de eliminação de Gauss (escalonamento) passo a passo. Ideia principal: transformar o sistema numa forma triangular superior usando operações elementares sobre linhas, e depois aplicar substituição regressiva (back-substitution).
Operações elementares permitidas (que preservam o conjunto de soluções):
  • trocar duas linhas;
  • multiplicar uma linha por um número real não nulo;
  • adicionar a uma linha um múltiplo de outra linha.
Primeiro passo prático: escrever a matriz aumentada do sistema (coeficientes e termos independentes).

Passo 3

Matriz aumentada inicial:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 6\\[4pt] 2 & -1 & 1 & 3\\[4pt] 1 & 2 & -1 & 3 \end{array}\right].
Agora vamos zerar os elementos abaixo do pivô da primeira coluna (pivô inicial é o 1 da primeira linha).
Aplicar as operações:
R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1,\qquad R_3 \leftarrow R_3 - R_1.
Calculemos cada linha:
  • Para R_2: (2,-1,1,3) - 2\cdot(1,1,1,6) = (2-2,\,-1-2,\,1-2,\,3-12) = (0,-3,-1,-9).
  • Para R_3: (1,2,-1,3) - (1,1,1,6) = (0,1,-2,-3).
A matriz resultante é:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 6\\[4pt] 0 & -3 & -1 & -9\\[4pt] 0 & 1 & -2 & -3 \end{array}\right].]

Passo 4

Agora usamos o pivô da segunda linha, coluna 2, que é -3, para zerar o elemento em posição (3,2) (que é 1).
Uma operação conveniente sem criar frações imediatas é fazer
R_3 \leftarrow R_2 + 3R_3,
porque R_2+3R_3 elimina o termo da segunda coluna:
  • R_2 + 3R_3 = (0,-3,-1,-9) + 3\cdot(0,1,-2,-3)
= (0,-3,-1,-9) + (0,3,-6,-9) = (0,0,-7,-18).
Assim obtemos a matriz escalonada:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 6\\[4pt] 0 & -3 & -1 & -9\\[4pt] 0 & 0 & -7 & -18 \end{array}\right].
Agora a matriz está em forma triangular superior: temos pivôs nas posições (1,1), (2,2) e (3,3).]

Passo 5

Vamos agora resolver por substituição regressiva a partir da última equação (terceira linha).
A terceira linha corresponde a:
-7z = -18.
Isolando z:
z = \frac{-18}{-7} = \frac{18}{7}.
É útil, para cálculos subsequentes, ter esse valor guardado: z=\dfrac{18}{7}.

Passo 6

Substituímos z na segunda equação (segunda linha da matriz) para encontrar y.
A segunda linha dá:
-3y - 1\cdot z = -9.
Substituindo z=\dfrac{18}{7}:
-3y - \frac{18}{7} = -9.
Isolando y:
-3y = -9 + \frac{18}{7} = \frac{-63+18}{7} = \frac{-45}{7}.
Logo
y = \frac{\frac{-45}{7}}{-3} = \frac{-45}{7}\cdot\left(-\frac{1}{3}\right) = \frac{15}{7}.
Portanto y=\dfrac{15}{7}.

Passo 7

Finalmente, usamos a primeira equação para obter x:
A primeira equação é
x + y + z = 6.
Substituindo y=\dfrac{15}{7} e z=\dfrac{18}{7}:
x = 6 - \frac{15}{7} - \frac{18}{7} = 6 - \frac{33}{7} = \frac{42}{7} - \frac{33}{7} = \frac{9}{7}.
Assim x=\dfrac{9}{7}.

Passo 8

Checagem rápida (opcional, mas boa prática): substituir x,y,z nas equações originais para confirmar.
  • Primeira equação: x+y+z=\dfrac{9}{7}+\dfrac{15}{7}+\dfrac{18}{7}=\dfrac{42}{7}=6. OK.
  • Segunda: 2x-y+z=2\cdot\dfrac{9}{7}-\dfrac{15}{7}+\dfrac{18}{7}=\dfrac{18-15+18}{7}=\dfrac{21}{7}=3. OK.
  • Terceira: x+2y-z=\dfrac{9}{7}+2\cdot\dfrac{15}{7}-\dfrac{18}{7}=\dfrac{9+30-18}{7}=\dfrac{21}{7}=3. OK.
Tudo confere.

Resposta

x=\dfrac{9}{7}\
y=\dfrac{15}{7}\
z=\dfrac{18}{7}

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