Resolva os seguintes sistemas, usando o método de Gauss
\left\{\begin{array}{l}2 x+y=7 \\\\ 3 x+2 y=11\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear dado, usando o método de Gauss. O sistema é:
\left\{\begin{array}{l} 2x + y = 7\\[4pt] 3x + 2y = 11 \end{array}\right.
Informações fornecidas:
  • As equações acima são as únicas condições.
  • As incógnitas são x e y.
    O objetivo é encontrar os valores de \,x e \,y que satisfazem simultaneamente as duas equações, aplicando o procedimento de eliminação de Gauss (transformar o sistema em forma triangular por operações elementares sobre linhas).]

Passo 2

Representação do sistema pela matriz aumentada (coluna extra é o termo independente):
\left[\begin{array}{cc|c} 2 & 1 & 7\\[4pt] 3 & 2 & 11 \end{array}\right]
Aqui cada linha representa uma equação: a primeira linha é 2x+y=7 e a segunda é 3x+2y=11. A ideia do método de Gauss é usar operações sobre linhas (trocar linhas, multiplicar uma linha por escalar não nulo, somar a uma linha um múltiplo de outra) para zerar os elementos abaixo da diagonal principal, obtendo uma matriz triangular superior.]

Passo 3

Eliminar o coeficiente de x na segunda linha (termos abaixo do pivô da primeira linha).
Vamos zerar o elemento 3 (linha 2, coluna 1) usando a primeira linha como pivô. Aplicamos a operação
\text{L}_2 \leftarrow \text{L}_2 - \frac{3}{2}\,\text{L}_1.
Explicando a conta para cada entrada da segunda linha:
  • Nova entrada na coluna x: 3 - \dfrac{3}{2}\cdot 2 = 3 - 3 = 0.
  • Nova entrada na coluna y: 2 - \dfrac{3}{2}\cdot 1 = 2 - \dfrac{3}{2} = \dfrac{1}{2}.
  • Novo termo independente: 11 - \dfrac{3}{2}\cdot 7 = 11 - \dfrac{21}{2} = \dfrac{22}{2} - \dfrac{21}{2} = \dfrac{1}{2}.
A matriz aumentada fica então
\left[\begin{array}{cc|c} 2 & 1 & 7\\[4pt] 0 & \dfrac{1}{2} & \dfrac{1}{2} \end{array}\right].]

Passo 4

Escalonamento para obter pivô igual a 1 na segunda linha (facilita a substituição). Multiplicamos a segunda linha por 2:
\text{L}_2 \leftarrow 2\,\text{L}_2.
Isso dá:
  • Coluna x: 0\cdot 2 = 0.
  • Coluna y: \dfrac{1}{2}\cdot 2 = 1.
  • Termo independente: \dfrac{1}{2}\cdot 2 = 1.
A matriz aumentada agora é
\left[\begin{array}{cc|c} 2 & 1 & 7\\[4pt] 0 & 1 & 1 \end{array}\right].]

Passo 5

Resolver por substituição (retrossubstituição). A segunda linha corresponde a
1\cdot y = 1,
portanto
y = 1.
Agora substituímos y=1 na primeira equação 2x + y = 7:
2x + 1 = 7.
Isolando x:
2x = 7 - 1 = 6,
x = \frac{6}{2} = 3.

Passo 6

Verificação rápida (para nos dar confiança): substituir \,x=3 e \,y=1 na segunda equação original:
3x + 2y = 3\cdot 3 + 2\cdot 1 = 9 + 2 = 11,
que coincide com o termo independente. Assim a solução está correta.

Resposta

x=3
y=1

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